【数学】福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题
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高二上学期第二次月考试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题，使得，则为（ ）
A. ，总有 B.，总有
C. ,使得 D.，使得
2. 已知向量，，且//，则（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．10
- 若， 则 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
4．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
5. 不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数 在处有极值2,则等于（ ）
A. 1 B. 2 C. -2 D. -1
7. 若抛物线上一点到焦点的距离为，以点为圆心且过点的圆与轴交于，两点，则（ ）
A．8 B． C． 6 D．3
8．空间四边形中,若则（ ）
A． B． 0 C． D．1
9.若在上是减函数,则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 给出以下命题：
①若，则异面直线与所成角的余弦值为；
②若平面与平面的法向量分别是与，则；
③已知三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足 ,则点平面；
④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；
则其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
12.已知，函数f(x)＝(x>0)的最小值为0，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆的离心率为，则实数_____________．
14.函数在R上不是单调函数,则的取值范围是
15．已知双曲线的左、右顶点分别为，，点在双曲线上，若直线的斜率为，则直线的斜率为______________．
16. 在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________
①面； ②面面；③点到面的距离为定值；④直线与面所成角的正弦值为定值.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分10分）已知函数，其导函数为,．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值．
18. （本小题满分12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（Ⅰ）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中点的横坐标为，．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程．
20. （本小题满分12分）
如图，已知四边形和都是菱形，平面平面，且，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，试求的单调区间；
（Ⅱ）若在内有极值，试求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点坐标为，椭圆的上顶点的坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点．
参考答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | C | D | A | B | C | D | A | B | D | C |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14. 15. 2 16. ①②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17.（本小题满分10分）
【解析】（Ⅰ） ……………………1分
因为 所以, 解得, ……………………2分
所以,,
所以 ……………………3分
, ……………………4分
所以曲线在点处的切线方程为． ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）当时,解得或, ……………………6分
当x变化时, ,的变化情况如下表：
x | |||
| 0 | ||
递减 | 极小值 | 递增 |
-------------7分
所以的极小值为, ……………………8分
又,, ……………………9分
所以的最大值为, 最小值为． ……………………10分
18. （本小题满分12分）
【解析】（I）以为轴建立空间直角坐标系，……………1分
则可得，
∴，，
∴ ……………………5分
∴异面直线与所成角的余弦值为 ……………………6分
（Ⅱ）由（I）知，，，
设平面的法向量为，
则可得，即，取可得，……………9分
设直线与平面所成的角为，
则 …………………………11分
∴直线与平面所成角的正弦值为 ……………12分
19. （本小题满分12分）
【解析】设，，
（I）因为线段的中点的横坐标为，所以，即．…2分
根据抛物线的定义可知，……………………4分
所以，解得，所以抛物线的标准方程为．……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由题可设直线的方程为，．
则由可得，……………………7分
所以，解得（负值舍去），
所以直线的方程为，即，……………………9分
设与直线平行的直线的方程为，
由可得，……………………10分
令，解得，
故与直线平行且与抛物线相切的直线方程为．……………………12分
20. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）证明：取的中点为，连结，
四边形和都是菱形，且，
三角形和三角形都是等边三角形，
， ，
又，
平面，
又平面，
所以； ……………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又平面平面且交于，平面
平面，
，……………………………………6分
三条直线两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系（如图），
则，…………………………7分
,,
设平面的法向量，
由，可得，
所以可取 ……………………………………………9分
同理可取 ……………………………………………10分
， ……………………………………………11分
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． …………………12分
21. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ） --------2分
当时，对于， 恒成立， -------------3分
令 得；
令 得 ------------4分
所以函数单调增区间为，单调减区间为 ． -------------5分
（Ⅱ）若在内有极值，则在内有解．-------------6分
令 .-------------7分
设 , 所以 ,
当时， 恒成立， 所以单调递减. ------------8分
又因为，又当时， ,
即在上的值域为, -------------9分
所以 当时， 在内有解. -------10分
设，则 ，
所以在单调递减.
因为， ,
所以在有唯一解.
所以有：
0 | |||
0 | |||
极小值 |
所以 当时， 在内有极值且唯一.
综上， 的取值范围为． -------------12分
22. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）设，，
因为线段的中点坐标为，所以，（2分）
又，，上述两式相减可得，
因为直线的斜率为，即，所以，（4分）
又因为椭圆的上顶点的坐标为，所以，
所以，所以椭圆的标准方程为，（6分）
（Ⅱ）设点，，将代入，消去可得，
则，，（8分）
所以，
所以，化简得，（10分）
所以直线的方程为，即，
令，可得，所以直线过点，
故直线过定点．（12分）
