【数学】福建省晋江市养正中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题

福建省晋江市养正中学2019-2020学年

高二上学期第二次月考试题

(考试时间为120分钟，满分为150分)

第Ⅰ卷  (选择题  共60分)

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置.  

1．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（    ）

A．             B．           C．6             D．

2．曲线C：在点M（）处的切线方程为（    ）

A．    B．   C．   D．

3. 已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1(x>0)　　C.＋＝1(x<0)  D.＋＝1(x>0，y≠0)

4．如图D3­3所示，已知M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，且＝，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A.a＋b＋c      B.a＋b＋c

C.a＋b＋c      D.a＋b＋c

5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（     ）

A．9       B．10                  C．11               D．13

6．已知、、，点在平面内，则的值为（     ）

A． B．1 C．10 D．11

7．已知m，n为异面直线，α，β为平面，m⊥α，n⊥β．直线满足⊥m，⊥n，⊄α，⊄β，则（　　）

A．                 B．

C．α与β相交，且交线平行于    D． α与β相交，且交线垂直于

8．已知数列{an}是等差数列，若Tn=na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an（n≥2），且T2=7，T3=16，则an=（　　）

A．n+1 B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．4n﹣3

9．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)

A.         B.－1　　　　C.      D．4－2

10.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)

A．p1<p2<     B．p1<<p2       C．p2<<p1     D.<p2<p1

11．已知点A(0，2)，抛物线C1：y2＝ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值等于 (　　)

A.       B.       C．1       D．4                

12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|﹣|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=（　　）

A． B． C． D．2

二、填空题

13．已知命题p：x满足x2﹣x﹣2＜0，命题q：x满足m≤x≤m+1，若p是q的必要条件，则m的取值范围是　        　．

14．函数，则＝              ．

15．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是__________．

16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A＝，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“(　　)”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：

甲：此数为小于6的正整数；

乙：A是B成立的充分不必要条件；

丙：A是C成立的必要不充分条件．

若老师评说三位同学都说得对，则“(　　)”中的数应为________．

三、解答题

17．（本小题满分10分）

如图，正方体的棱长为，点为的中点．

（1）求平面的法向量.

（2）求二面角的余弦值．

18.(12分) 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

（Ⅰ）求A1被选中的概率；

（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．

19.已知抛物线；

（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；

（Ⅱ）设，是抛物线上异于原点的两动点，其中，以，为直径的圆恰好过抛物线的焦点，延长，分别交抛物线于，两点，若四边形的面积为32，求直线的方程.[来源

20. (本题满分12分)

某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）试估计平均收益率；

（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：

据此计算出的回归方程为.

（i）求参数的值；

（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.

21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC=90°．

（Ⅰ） 证明：PC⊥BC；

（Ⅱ） 若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

22.（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），点P为椭圆C上一动点，且直线AP，BP的斜率之积为﹣．

（1）求a，b及离心率e的值；

（2）若点M、N是C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．

参考答案

1-12、CCDBD   DCABB    DA   

13.（﹣1，1）．14. 15.

12.解：由题意可知：以线段F1F2为直径的圆的方程x2+y2=c2，

双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=x，联立方程，解得：，

则M（a，b），由|MF1|﹣|MF2|=2b，即﹣=2b，由b2=a2﹣c2，e=，化简整理得：e4﹣e2﹣1=0，由求根公式可知e2=，由e＞1，则e2=，故选A．

16.1　[解析]集合B＝{x|－1≤x≤4}，集合C＝.由甲的描述可设括号内的数为a(a>0)，故集合A＝.根据乙、丙的描述可得集合A，B，C的关系是C⇒A⇒B，故∈，所以a∈.又a为正整数，所以a＝1.

17．（本小题满分12分）

解：以顶点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

（2分）

（1）设是平面的一个法向量

……（4分）

（2）设是平面的一个法向量，

…………（6分）

…………（8分）

又与所成的大小与二面角的大小相等，

故二面角的余弦值为            …………（10分）

18.解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，

其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，

因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}

事件M由6个基本事件组成，因而．

（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，

则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，

由于={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，

所以，由对立事件的概率公式得．

 19. 解：（1）过点P（2，1）的切线方程为y－１＝k（x－２）

由得    

∴　△＝０即解得k=1

∴ 所求的直线方程是y=x-1    …………（4分）

(2)设直线AC的方程为y=kx+1,

则直线BD的方程为y=－x+1

由得

∴+=４k，＝－４  …………（6分）

∴ ｜AC|＝＝   …………（8分）

同理：｜BD|＝＝      …………（9分）

∵四边形ABCD的面积为32

∴ ｜AC|｜BD|=32  即 解得：k=1或k=-1  …（11分）

∴直线AC的方程是：y=x+1     …………（12分）

20. (本题满分12分)解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，

平均收益率为

.

（Ⅱ）（i）

所以

（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元，

当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元.

21.解：（Ⅰ）取AD的中点为O，连接PO，CO，

∵△PAD为等边三角形，∴PO⊥AD．

底面ABCD中，可得四边形ABCO为矩形，

∴CO⊥AD，…（1分）

∵PO∩CO=O，∴AD⊥平面POC，…（2分）

PC⊂平面POC，AD⊥PC．…（3分）

又AD∥BC，所以BC⊥PC．…（4分）

（Ⅱ）由面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD，…（5分）

OP，OD，OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30°，即∠CPO=30°

由AD=2，知，得CO=1．…（6分）

分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则，，，…（7分）

设平面PBC的法向量为．

∴．则，…（8分）

设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．

∴．则，…（9分）

=，…（11分）

∴由图可知二面角B﹣PC﹣D的余弦值．…（12分）

22.【解答】解：（1）由题意可得：a=2，设P点坐标为（x，y），则kAP=，kBP=，

由kAP•kBP=﹣，则×=﹣，整理得：，

∴a=2，b=1，c=，则椭圆的离心率e==；

（2）证明：设直线MN的方程为：y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立直线MN和椭圆方程：，整理得：（4k2+1）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

由韦达定理可得：x1+x2=﹣，x1x2=，…6分

因为kOM•kON=﹣，则•=﹣，整理得：4y1y2+x1x2=0，即（4k2+1）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0，

（4k2+1）（）+4kt（﹣）+4t2=0，化简得：2t2﹣4k2=1，…8分

丨MN丨==2，…10分，设O到MN距离为d，则d=，

∴△MON的面积S=×d×丨MN丨=××2=×=1，

∴△MON的面积为定值1．