2020年高考数学一轮复习教案：第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)
展开第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断
p | q | p∧q | p∨q | p |
真 | 真 | 真 | 真 | 假 |
真 | 假 | 假 | 真 | 假 |
假 | 真 | 假 | 真 | 真 |
假 | 假 | 假 | 假 | 真 |
2.全称量词和存在量词
量词名称 | 常见量词 | 符号表示 |
全称量词 | 所有、一切、任意、全部、每一个等 | ∀ |
存在量词 | 存在一个、至少有一个、有些、某些等 | ∃ |
3.全称命题和特称命题
名称 形式 | 全称命题 | 特称命题 |
结构 | 对M中的任意一个x，有p(x)成立 | 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 |
简记 | ∀x∈M，p(x) | ∃x0∈M，p(x0) |
否定 | ∃x0∈M，p(x0) | ∀x∈M，p(x) |
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：
(1)p∨q：有真则真．
(2)p∧q：有假则假．
(3)p与p：真假相反．
2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题． ( )
(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题． ( )
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． ( )
[解析] (1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．
(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]
3．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1＞0
B．∀x∈N*，(x－1)2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1
D．∃x∈R，tan x＝2
B [对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]
4．命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．
∀x∈R，x2－ax＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[－8,0] [当a＝0时，不等式显然成立．
当a≠0时，依题意知
解得－8≤a＜0.
综上可知－8≤a≤0.]
含有逻辑联结词的命题及真假判断 |
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两名学员各跳一次，设命题p：甲降落在指定范围．q：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∨(q)
C．(p)∧(q) D．p∧q
A [p：甲没有降落在指定范围，
q：乙没有降落在指定范围．
则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q)，故选A.]
2．若命题“p∨q”是真命题，“p”为真命题，则( )
A．p真，q真 B．p假，q真
C．p真，q假 D．p假，q假
B [命题“p∨q”是真命题，则p或q至少有一个真命题，又“p”是真命题，则p是假命题，从而q一定是真命题，故选B.]
3．(2019·泰安模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(q)
C．(p)∧q D．(p)∧(q)
B [∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴p为假命题．
∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，
∴命题q为假命题，∴q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧q为真命题，p∧q为假命题，p∧q为假命题．故选B.]
[规律方法] “p∧q”“p∨q”“ p”等形式命题真假的判断步骤
1确定命题的构成形式.
2判断其中命题p，q的真假.
3依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，来确定“p∧q”“p∨q”“ p”等形式命题的真假.
全称命题、特称命题 |
【例1】 (1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
(2)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，x2≥0
B．∀x∈R,2x－1＞0
C．∃x0∈N，sinx0＝1
D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.
(2)当x∈R时，x2≥0且2x－1＞0，故A、B是真命题．
当x0＝1时，sinx0＝1，故C是真命题．
由sin x＋cos x＝sin≤，故D是假命题．]
[规律方法] 1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作
(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题、特称命题的真假判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．
(1)命题：“∃x0＞0，使2x0(x0－a)＞1”，这个命题的否定是( )
A．∀x＞0，使2x(x－a)＞1 B．∀x＞0，使2x(x－a)≤1
C．∀x≤0，使2x(x－a)≤1 D．∀x≤0，使2x(x－a)＞1
(2)下列命题中，真命题是( )
A．∀x∈R，x2－x－1＞0
B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β
C．∃x∈R，x2－x＋1＝0
D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β
(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x＞0，使2x(x－a)≤1，故选B.
(2)因为x2－x－1＝2－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝2＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]
根据命题的真假求参数的取值范围 |
【例2】 (1)已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,1)
(2)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为真命题，
则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，
则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B.
(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.
因此，由p，q均为假命题得
即m≥2，故选A.]
[规律方法] 根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤
1求出当命题p，q为真时所含参数的取值范围.
2根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性.
3根据命题p，q的真假情况，利用集合的运算并、交、补求出参数的取值范围.
(1)已知命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.若p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，e2] B．(－∞，e]
C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)
(2)已知命题p：∃x0∈R，x－ax0＋4＝0；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)[－12，－4]∪[4，＋∞) [(1)p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤ex≤e2，由题意知a≤(ex)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.
(2)若p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4.
若q是真命题，则－≤3，即a≥－12.
由p∧q是真命题知，命题p、q均是真命题．
因此a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]
