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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第7章第2节 空间图形的基本关系与公理
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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第7章第2节 空间图形的基本关系与公理

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    第二节 空间图形的基本关系与公理

    [考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

    1空间图形的公理

    (1)公理1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面)

    (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)

    (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

    (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.

    2空间中两直线的位置关系

    (1)空间中两直线的位置关系

    (2)异面直线所成的角

    定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线ab的平行线l1l2(al1bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线ab所成的角.

    范围:.

    (3)定理(等角定理)

    空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

    3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

    (1)空间中直线与平面的位置关系

    位置关系

    图形表示

    符号表示

    公共点

    直线a在平面α

    aα

    有无数个公共点

    直线在平面外

    直线a与平面α平行

    aα

    没有公共点

    直线a与平面α斜交

    aαA

    有且只有一个公共点

    直线a与平面α垂直

    aα

    (2)空间中两个平面的位置关系

    位置关系

    图形表示

    符号表示

    公共点

    两平面平行

    αβ

    没有公共点

    两平面相交

    斜交

    αβl

    有一条公共直线

    垂直

    αβ

    αβa

    1公理2的三个推论

    推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.

    推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.

    推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.

    2异面直线的判定定理

    经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

    3等角定理的引申

    (1)在等角定理中,若两角的两边平行且方向相同或相反,则这两个角相等.

    (2)在等角定理中,若两角的两边平行且方向一个边相同,一个边相反,则这两个角互补.

    [基础自测]

    1(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)两个平面αβ有一个公共点A,就说αβ相交于过A点的任意一条直线. (  )

    (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. (  )

    (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. (  )

    (4)若直线a不平行于平面α,且aα,则α内的所有直线与a异面. (  )

    [答案] (1)× (2) (3)× (4)×

    2(教材改编)如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,EF分别是ABAD的中点,则异面直线B1CEF所成的角的大小为(  )

    A30°     B45°

    C60° D90°

    C [连接B1D1D1C(图略),则B1D1EF,故D1B1C为所求的角,又B1D1B1CD1C

    ∴∠D1B1C60°.]

    3(教材改编)下列命题正确的是(  )

    A.经过三点确定一个平面

    B.经过一条直线和一个点确定一个平面

    C.四边形确定一个平面

    D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

    D [根据确定平面的公理和推论知选项D正确.]

    4.已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形 一定是(  )

    A.空间四边形 B.矩形

    C.菱形 D.正方形

    B [四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线,故选B]

    5.已知直线ab分别在两个不同的平面αβ内,则直线a和直线b相交平面α和平面β相交(  )

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    A [由题意知aαbβ,若ab相交,则ab有公共点,从而αβ有公共点,可得出αβ相交;反之,若αβ相交,则ab的位置关系可能为平行、相交或异面.因此直线a和直线b相交平面α和平面β相交的充分不必要条件.故选A]

    空间图形的公理及其应用

     

    【例1】 (1)以下命题中,正确命题的个数是(  )

    不共面的四点中,其中任意三点不共线;

    若点ABCD共面,点ABCE共面,则ABCDE共面;

    若直线ab共面,直线ac共面,则直线bc共面;

    依次首尾相接的四条线段必共面.

    A0     B1    C2    D3

    B [正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;中若点ABC在同一条直线上,则ABCDE不一定共面,故错误;中,直线bc可能是异面直线,故错误;中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故错误.]

    (2)如图,正方体ABCD­A1B1C1D1中,EF分别是ABAA1的中点.求证:

    ECD1F四点共面;

    CED1FDA三线共点.

    [] 如图,连接EFCD1A1B

    EF分别是ABAA1的中点,

    EFBA1.

    A1BD1CEFCD1

    ECD1F四点共面.

    ②∵EFCD1EF<CD1

    CED1F必相交,设交点为P

    则由P直线CECE平面ABCD

    P平面ABCD

    同理P平面ADD1A1.

    又平面ABCD平面ADD1A1DA

    P直线DACED1FDA三线共点.

    [规律方法] 共点、共线、共面问题的证明方法

    (1)证明点共线问题:公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据基本公理3证明这些点都在交线上;同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.

    (2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.

    (3)证明点、直线共面问题:纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面αβ重合.

    (1)如图是正方体或四面体,PQRS分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是   (  )

    A     B    C    D

    D [根据异面直线的判定定理,选项DPSQR是异面直线,则四点PQRS不共面.故选D]

    (2)如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1HO三点共线.

    [证明] 如图,连接BDB1D1

    BDACO

    因为BB1DD1

    所以四边形BB1D1D为平行四边形,

    HB1D

    B1D平面BB1D1D

    H平面BB1D1D

    因为平面ACD1平面BB1D1DOD1

    所以HOD1.

    D1HO三点共线.

     

    空间两条直线的位置关系

     

    【例2】 (1)已知abc为三条不同的直线,且a平面αb平面βαβc,给出下列命题:

    ab是异面直线,则c至少与ab中的一条相交;

    a不垂直于c,则ab一定不垂直;

    ab,则必有ac.

    其中真命题有________(填序号)

    (2)在图中,GHMN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GHMN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)

              

    (1)①③ (2)②④ [(1)对于,若cab都不相交,则cacb,从而ab,这与ab是异面直线矛盾,故正确.

    对于ab可能异面垂直,故错误.

    对于,由ab可知aβ,又αβc,从而ac,故正确.

    (2)中,直线GHMN;图中,GHN三点共面,但M平面GHN,因此直线GHMN异面;图中,连接MG(图略)GMHN,因此GHMN共面;图中,GMN共面,但H平面GMN,因此GHMN异面,所以在图②④中,GHMN异面.]

    [规律方法] 异面直线的判定方法

    (1)已知ab是异面直线,直线c平行于直线a,那么cb(  )

    A.一定是异面直线   B.一定是相交直线

    C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

    (2)如图所示,正方体ABCD­A1B1C1D1中,MN分别为棱C1D1C1C的中点,有以下四个结论:

    直线AMCC1是相交直线;

    直线AMBN是平行直线;

    直线BNMB1是异面直线;

    直线AMDD1是异面直线.

    其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)

    (1)C (2)③④ [(1)cb可能相交,也可能异面,但可不能平行,故选C

    (2)根据两条异面直线的判定定理知,③④正确.]

     

    异面直线所成的角

     

    【例3】 (1)(2018·全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AECD所成角的正切值为(  )

    A    B    C    D

    (2)如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB2BC1BB11PAB的中点,则异面直线BC1PD所成的角等于(  )

    A30°   B45°  C60°   D90°

    (1)C (2)C [(1)如图,连接BE

    因为ABCD,所以异面直线AECD所成的角等于相交直线AEAB所成的角,即EAB不妨设正方体的棱长为2,则CE1BC2,由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE,所以tanEAB.故选C

    (2)CD的中点Q

    连接BQC1Q

    PAB的中点,

    BQPD

    ∴∠C1BQ是异面直线BC1PD所成的角.

    C1BQ中,C1BBQC1Q

    ∴∠C1BQ60°

    即异面直线BC1PD所成的角等于60°,故选C]

    [规律方法] 用平移法求异面直线所成的角的步骤

    (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;

    (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角;

    (3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.

    (1)已知PABC所在平面外的一点,MN分别是ABPC的中点,若MNBC4PA4,则异面直线PAMN所成角的大小是(  )

    A30° B45°

    C60° D90°

    (2)如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1BC所成角的正切值为________

    (1)A (2) [(1)AC的中点O,连接OMON,则

    OMBCONPA

    ∴∠ONM就是异面直线PAMN所成的角.

    OMN中,MN4OM2ON2cosONM

    ∴∠ONM30°

    即异面直线PAMN所成角的大小为30°,故选A

    (2)取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1DAD

    因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC

    所以直线AC1AD所成角等于异面直线AC1BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD

    因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1DAD,所以直线AC1AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1BC所成角的正切值为.]

     

    1(2017·全国卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中,ABC120°AB2BCCC11,则异面直线AB1BC1所成角的余弦值为(  )

    A   B   C   D

    C [将直三棱柱ABC­A1B1C1补形为直四棱柱ABCD­A1B1C1D1,如图所示,连接AD1B1D1BD

    由题意知ABC120°AB2BCCC11,所以AD1BC1AB1DAB60°.

    ABD中,由余弦定理知BD222122×2×1×cos 60°3,所以BD,所以B1D1.

    AB1AD1所成的角即为AB1BC1所成的角θ

    所以cos θ.

    故选C]

    2(2016·全国卷)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点Aα平面CB1D1α平面ABCDmα平面ABB1A1n,则mn所成角的正弦值为(  )

    A    B    C    D

    A [根据平面与平面平行的性质,将mn所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角.

    设平面CB1D1平面ABCDm1.平面α平面CB1D1m1m.

    又平面ABCD平面A1B1C1D1

    且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1

    B1D1m1.B1D1m.

    平面ABB1A1平面DCC1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1CD1,同理可证CD1n.

    因此直线mn所成的角即直线B1D1CD1所成的角.

    在正方体ABCD­A1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,

    故直线B1D1CD1所成角为60°,其正弦值为.]

     

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