2019版高考数学（理）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第九章平面解析几何第2节

第2节　两直线的位置关系
最新考纲　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
[常用结论与微点提醒]
1.直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
2.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.
3.在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)
解析　(1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)
A.1 B.2
C. D.2
解析　圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.
答案　C
3.(2018·高安期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析　因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
答案　A
4.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________.
解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
答案　
5.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
解析　由题意知 ＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案　1

考点一　两直线的平行与垂直
【例1】 (一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解　(1)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，
两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.
综上可知，a＝－1.
法二　由l1∥l2知
即⇒⇒a＝－1.
(2)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.
法二　∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，
即a＋2(a－1)＝0，得a＝.
规律方法　1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【训练1】 (1)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
(2)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　(1)圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
(2)当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，
但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，
故必要性成立，故选C.
答案　(1)D　(2)C
考点二　两直线的交点与距离问题
【例2】 (1)(一题多解)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
(2)(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.
解析　(1)法一　联立方程
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.又∵交点位于第一象限，
∴解得－＜k＜.
法二　如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.
∵kPA＝－，kPB＝.
∴－＜k＜.
(2)法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.
法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4).
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案　(1)　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1
规律方法　1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.
【训练2】 (2018·合肥调研)设l1为曲线f(x)＝ex＋x(e为自然对数的底数)的切线，直线l2的方程为2x－y＋3＝0，且l1∥l2，则直线l1与l2的距离为________.
解析　由f(x)＝ex＋x，得f′(x)＝ex＋1，设l1与曲线f(x)＝ex＋x相切的切点为(x1，y1)，直线l2的方程为2x－y＋3＝0，且l1∥l2，∴ex1＋1＝2，解得x1＝0，y1＝1，则直线l1与l2的距离即为切点到l2的距离，即＝.
答案　
考点三　对称问题
【例3】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)(一题多解)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.
解　(1)设A′(x，y)，再由已知
解得∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.
设对称点为M′(a，b)，
则解得M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3).
又∵m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
(3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M(1，1)，N(4，3)，
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上.
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二　设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
规律方法　1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.
2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.
3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
【训练3】 (一题多解)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解　法一　由
得
∴反射点M的坐标为(－1，2).
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，
∴3·－2·＋7＝0.
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，∴3×－2×＋7＝0，由
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.

基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.
答案　C
2.(2018·刑台模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1.
答案　C
3.(一题多解)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
解析　法一　由得
则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.
法二　设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.
答案　D
4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y＋3＝0 D.x＋2y－3＝0
解析　设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
答案　D
5.(2018·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)
A.7 B. C.14 D.17
解析　直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.
答案　B
6.平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1，1)对称的直线方程是(　　)
A.y＝2x－1 B.y＝－2x＋1
C.y＝－2x＋3 D.y＝2x－3
解析　在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0，1)，B(1，3)，则点A关于点(1，1)对称的点为M(2，1)，点B关于点(1，1)对称的点为N(1，－1).由两点式求出对称直线MN的方程为＝，即y＝2x－3.
答案　D
7.(2018·成都诊断)已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)
A.(3，) B.(2，)
C.(1，) D.
解析　直线l1的斜率为k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2).两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).
答案　C
8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是解得
故m＋n＝.
答案　A

二、填空题
9.点(2，1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________.
解析　设对称点为(x0，y0)，则
解得故所求对称点为(0，3).
答案　(0，3)
10.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
解析　由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案　－9
11.(2018·沈阳检测)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________.
解析　显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
12.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
答案　6x－y－6＝0
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2018·安阳一模)两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　)
A.(5，＋∞) B.(0，5]
C.(，＋∞) D.(0，]
解析　当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，].
答案　D
14.如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A.2 B.6
C.3 D.2
解析　易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A2(－2，0)两点间的距离.
于是|A1A2|＝＝2.
答案　A
15.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
解析　易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，
即△APB为直角三角形，
∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立.
答案　5
16.若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.
解析　由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5，1)，
AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得
解得所以顶点C的坐标为C(4，3).
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立解得
所以顶点B的坐标为(－1，－3).
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
答案　6x－5y－9＝0