2019版高考数学（理）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第九章平面解析几何第5节第1课时

第5节　椭　圆
最新考纲　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[常用结论与微点提醒]
1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为，称为通径.
2.椭圆离心率e＝＝＝.
3.应用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A. B. C. D.
解析　由已知，a＝3，b＝2，则c＝＝，所以e＝＝.
答案　B
3.(2018·张家口调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)
解析　根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3)，故选B.
答案　B
4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆C的方程为＋＝1.
答案　D
5.(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为或.
答案　或
第1课时　椭圆及其标准方程

考点一　椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)(选修2－1P49A7改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解析　(1)连接QA.
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.
答案　(1)A　(2)D
规律方法　1.椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等.
2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.
【训练1】 (1)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
(2)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.
解析　(1)∵a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆.
(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.
所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，
即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，
得点P的轨迹方程为＋＝1.
答案　(1)D　(2)＋＝1
考点二　椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为________.
(2)(一题多解)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
解析　(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一　椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案　(1)＋＝1　(2)＋＝1
规律方法　1.求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组.
2.如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
【训练2】 (1)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________.
(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析　(1)依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0).
过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，
∴点A必在椭圆上，
∴＋＝1.①
又由c＝1，得1＋b2＝a2.②
由①②联立，得b2＝3，a2＝4.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一　当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴　解得
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴　解得
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案　(1)＋＝1　(2)＋y2＝1
考点三　焦点三角形问题
【例3】 (1)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是(　　)
A. B.2
C.2 D.
(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝________.
解析　(1)由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，
所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.
(2)由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝×b2×＝
b2＝3，所以b＝3.
答案　(1)A　(2)3
规律方法　1.椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识.
2.椭圆中焦点三角形的周长等于2a＋2c.
【训练3】 已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
解析　依题意a＝7，b＝2，c＝＝5，
|F1F2|＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，
所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝100.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，
即196－2|PF1|·|PF2|＝100.
解得|PF1|·|PF2|＝48.
答案　48

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于(　　)
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析　由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，又满足关系式a2－b2＝c2＝1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.
答案　C
2.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
解析　∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段.
答案　D
3.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A.16 B.18 C.20 D.不确定
解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，所以周长为10＋8＝18.
答案　B
4.“2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若＋＝1表示椭圆.
则有∴2 故“2 答案　B
5.过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是(　　)
A.14 B.16 C.18 D.20
解析　如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝18.
答案　C
二、填空题
6.椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________.
解析　椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0).
答案　(－，0)，(，0)
7.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.
解析　∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.又焦点在y轴上，
∴标准方程为＋＝1.
答案　＋＝1
8.(2018·昆明诊断)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
解析　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案　(－3，0)或(3，0)
三、解答题
9.已知动圆M过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程.
解　设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3，0)，且2a＝8，
∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A，∴·＝0，
而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0).
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF2的距离为，其中点P(－1，－4)，则椭圆的标准方程为(　　)
A.x2＋＝1 B.＋y2＝1
C.x2＋＝1 D.＋y2＝1
解析　设F2的坐标为(c，0)(c>0)，则kPF2＝，故直线PF2的方程为y＝(x－c)，即x－y－＝0，点(－1，0)到直线PF2的距离d＝＝＝，即＝4，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，
所以a2－b2＝1.①
又点在椭圆E上，所以＋＝1，②
由①②可得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案　D
12.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________.
解析　由题意得a＝3，c＝.因为|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝6－4＝2.所以cos∠F1PF2＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.
答案　120°
13.(2018·石家庄月考)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
解　(1)由已知得解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0得m2<16，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2，满足m2<16.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.