2020版高考数学一轮复习课时作业32《 等差数列》(含解析) 练习

课时作业32　等差数列

一、选择题

1.(2019·湖北荆州一模)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　A　)

A.15   B.30

C.31   D.64

解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝－，d＝，则a12＝－＋×11＝15.故选A.

2.已知数列{an}中，a2＝，a5＝，且{}是等差数列，则a7＝(　D　)

A.   B.

C.   D.

解析：设等差数列{}的公差为d，则＝＋3d，即＝＋3d，解得d＝2，所以＝＋5d＝12，解得a7＝.故选D.

3.(2019·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S9＝λa4，则λ的值为(　A　)

A.18   B.20

C.21   D.25

解析：设公差为d，由a6＝3a4，且S9＝λa4，

得解得λ＝18，故选A.

4.(2019·贵阳市摸底考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝(　D　)

A.   B.

C.   D.

解析：＝＝＝.故选D.

5.(2019·河南郑州一中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，如果当n＝m时，Sn最小，那么m的值为(　C　)

A.10   B.9

C.5   D.4

解析：设等差数列{an}的公差为d，则

解得

所以Sn＝－33n＋×7＝n2－n＝(n－)2－×()2.因为n∈N*，所以当n＝5时，Sn取得最小值.故选C.

6.(2019·安徽淮北一模)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 018<S2 016，S2 017<S2 018，则Sn<0时n的最大值是(　D　)

A.2 017   B.2 018

C.4 033   D.4 034

解析：∵S2 018<S2 016，S2 017<S2 018，∴a2 018＋a2 017<0，a2 018>0.∴S4 034＝

＝2 017(a2 018＋a2 017)<0，S4 035

＝＝4 035a2 018>0，

可知Sn<0时n的最大值是4 034.故选D.

二、填空题

7.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列，则数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.

解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1，a4，a13成等比数列，a1＝3，∴a＝a1a13，即(3＋3d)2＝3(3＋12d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，故{an}的通项公式为an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.

8.在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于132.

解析：S11＝＝11a6，

设公差为d，由a9＝a12＋6

得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，

解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.

9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是2.

解析：∵－＝1，

∴2－3＝6，

∴6a1＋6d－6a1－3d＝6，∴d＝2.

10.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为.

解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得即解得－1<d<－.

三、解答题

11.(2019·郑州质量预测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝25，S5＝55.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由题意得

解得∴数列{an}的通项公式为an＝3n＋2.

(2)由anbn＝，得bn＝

＝＝(－)，

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－＋－＋…＋－)＝(－)

＝－＝.

12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－21，a5与a7的等差中项为1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T10的值和Tn的表达式.

解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得

解得则an＝－9＋(n－1)×2＝2n－11，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－11.

(2)令an＝2n－11<0，得n<，即n≤5，所以当n≤5时，an＝2n－11<0，当n≥6时，an＝2n－11>0.

又Sn＝n2－10n，S5＝－25，S10＝0，

所以T10＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－S5＋(S10－S5)＝S10－2S5＝50.

当n≤5时，Tn＝－Sn＝10n－n2；

当n≥6时，Tn＝－S5＋(Sn－S5)＝Sn－2S5＝n2－10n＋50.

综上，Tn＝

13.(2019·武汉市调研测试)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为－12.

解析：设等差数列{an}的公差为d，

∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，

又a4a6＝275，联立，

解得或

当时，可得

此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，

∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；

当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值.

综上，anan＋1的最小值为－12.

14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若不等式2Sn＋8n＋27>(－1)nk(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围.

解：(1)设公差为d，则5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，∴a1＝－1，d＝3.

∴{an}的通项公式为an＝3n－4.

(2)Sn＝－n＋，2Sn＋8n＋27＝3n2＋3n＋27，an＋4＝3n，则原不等式等价于(－1)nk<n＋1＋对所有的正整数n都成立.

∴当n为奇数时，k>－；

当n为偶数时，k<n＋1＋恒成立.

又∵n＋1＋≥7，当且仅当n＝3时取等号，

∴当n为奇数时，n＋1＋的最小值为7，

当n为偶数时，n＝4时，n＋1＋的最小值为，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范围是－7<k<.

15.(2019·河南郑州检测)已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足＝.

(1)求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝＋＋…＋＋

(n∈N*)，求证：bn≤.

证明：(1)∵＝，

∴当n＝1时，a1＝2.

当n≥2时，8Sn＝(an＋2)2，①

8Sn－1＝(an－1＋2)2，②

由①－②得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0(an>0)，则an－an－1＝4，∴{an}是以4为公差的等差数列，即an＝4n－2.

(2)bn＝＋＋…＋＋

＝＋＋＋…＋＋

＝×＋［＋…＋＋］

<×＝×.

设f(n)＝＋，则f(n＋1)－f(n)<0，

所以{f(n)}递减，×≤f(1)＝，即bn≤.