2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第38课__基本不等式及其简单应用（2）

____第38课__基本不等式及其简单应用(2)____

1. 运用基本不等式求最值、取值范围及不等式恒成立问题．

2. 运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题.

1. 阅读：必修5第99～101页．

2. 解悟：①应用基本不等式解决实际问题，首先要正确理解题意，然后通过分析、思考，将实际问题转化为数学模型，再应用基本不等式求解；②解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；③解应用问题时，若等号取得的条件不足，应如何处理？

3. 践习：在教材上的空白处，完成必修5第102页习题第3、4题.

　基础诊断　

1. 在平面直角坐标系xOy中，曲线＋＝1上的点到原点O的最短距离为__5__．

解析：设曲线＋＝1上的点P(x，y)．设P(x，y)到原点的距离为d＝＝＝≥＝5，当且仅当＝时，d取最小值，所以曲线＋＝1上的点到原点O的最短距离为5.

2. 已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值是__3__．

解析：因为x，y，z>0，x－2y＋3z＝0，所以2y＝x＋3z，所以4y2＝x2＋6xz＋9z2≥2＋6xz＝12xz，当且仅当x2＝9z2，即x＝3z时取等号，所以4y2≥12xz，≥3.

3. 已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中mn>0)，则＋的最小值是__8__．

解析：由题意可得定点A(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，且mn>0，所以m>0，n>0.则＋＝＋＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当＝时取等号，故＋的最小值是8.

4.  从等腰直角三角形纸片ABC上剪下如图所示的两个正方形，其中，BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形面积之和的最小值为____. 

解析：设两个正方形的边长分别为a，b，则由题意可得a＋b＝＝1，且≤a，b≤，所以两个正方形面积之和为S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故两个正方形面积之和最小为.

　范例导航　

考向❶  基本不等式与函数综合问题

例1　设x，y是正实数，且x＋y＝1，求＋的最小值．

解析：设x＋2＝m，y＋1＝n.

因为x＋y＝1，所以m＋n＝x＋y＋3＝4，

所以＋＝＋＝m＋n＋＋－6＝＋－2.

因为m＋n＝4，所以1＝(m＋n)，

所以＋－2＝(m＋n)－2＝－2≥.

当且仅当m＝2n时，取等号，

由x＋2＝2(y＋1)得x＝2y，

即当x＝，y＝时，＋取得最小值.

已知实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，求的最小值．

解析：因为log2x＋log2y＝1，所以log2xy＝1，所以xy＝2，所以＝＝x－y＋≥2×2＝4，当且仅当x＝1＋，y＝－1时取等号，故的最小值为4.

考向❷  基本不等式在实际应用问题中的运用

例2　某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关. 若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝(0≤x≤8)，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为6万元．设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和．

(1) 求f(x)的表达式；

(2) 宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小？并求最小值．

解析：(1) 根据题意得100＝，所以k＝800.故f(x)＝＋5＋6x，x∈[0，8]．

(2) f(x)＝＋2(3x＋5)－5≥

2－5＝80－5＝75，

当且仅当＝2(3x＋5)，即x＝5时，取等号，此时f(x)的最小值是75，

所以宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小，最小值为75万元．

在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv2(c为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2，记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.

(1) 将y表示为v的函数．

(2) 设0<v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

解析：(1) 潜入水底用时，用氧量·cv2＝30cv，

水底作业时用氧量为5×0.4＝2，

返回水面用时，用氧量×0.2＝，

所以y＝30cv＋2＋(v>0). 

(2) y＝30cv＋2＋≥2＋2＝2＋12，

当且仅当30cv＝，即v＝时取等号．

当≤5，即c≥时，v＝时，y取得最小

值为2＋12.

当>5，即0<c<时，y′＝30c－＝<0，

因此函数y＝30cv＋2＋在(0，5]上为减函数，

所以当v＝5时，y的最小值为150c＋.

综上，当c≥时，下潜速度为时，用氧量最小为2＋12；

当0<c<时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c＋.

　自测反馈　

1. 已知点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上运动，则函数z＝3x＋27y＋3的最小值是__9__．

解析：因为x＋3y－2＝0，所以x＋3y＝2.又因为3x>0，27y>0，所以z＝3x＋27y＋3＝3x＋33y＋3≥2＋3＝2＋3＝9，当且仅当3x＝33y，即x＝3y＝1时取等号．

2. 过点(1，2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为__2x＋y－4＝0__．

解析：由题意可设直线l的方程为＋＝1，a>0，b>0.因为直线l过点(1，2)，所以＋＝1，所以1＝＋≥2，所以ab≥8，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，此时△AOB的面积取得最小值ab＝4，所以直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.

3. 已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则实数m的最大值为__16__．

解析：根据已知不等式，分离变量得m≤(3a＋b)，a>0，b>0.由(3a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故m最大值为16.

4. 对于任意x∈R，不等式2x2－a＋3>0恒成立，则实数a的取值范围为__(－∞，3)__．

解析：由题意得2x2－a＋3>0对于x∈R恒成立，即a<对于x∈R恒成立．令＝t(t≥1)，则x2＝t2－1，所以y＝＝2t＋.因为y＝2t＋在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，y有最小值3，所以a<3.

1. 最值问题的处理方法：①直接利用基本不等式放缩(几种配凑的技巧)；②消元转化为函数求最值．

2. 在运用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

3. 你还有哪些体悟，写下来：