2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第10章2第2讲　排列与组合

第2讲　排列与组合

1．排列、组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公
式
A＝n(n－1)(n－2)…
(n－m＋1)＝
C＝＝

性
质
A＝n！，0！＝1
C＝C，C＋C＝C

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(4)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)
(5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．8
C．12 D．16
解析：选C.由于lg a－lg b＝lg，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个．
(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．
有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．
解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC＝75(种)．
答案：75
有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A＝840(种)．
答案：840

排列应用题
[典例引领]
3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
【解】　(1)从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040 种排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288(种)．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1 440(种)．

在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端．
解：(1)先排甲有4种，其余有A种，
故共有4·A＝2 880种排法．
(2)先排甲、乙，再排其余5人，
共有A·A＝240种排法．

求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法
分类法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数
分步法
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
间接法
对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法
[提醒]　(1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．
(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．　
[通关练习]
1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为(　　)
A．36　　　　　　　　　　 B．72
C．108 D．144
解析：选B.3本数学书的放法有A种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A种，故同类书不相邻的放法有2AA＝2×6×6＝72(种)，故选B.
2．(2018·兰州市高考实战模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A种 B．A种
C．AAA种 D．AA种
解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A种站法．根据分步计数原理，共有AA种站法．故选D.
组合应用题
[典例引领]
要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？
(1)至少有1名女生入选；
(2)男生甲和女生乙入选；
(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
【解】　(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．
由分类加法计数原理知总选法数为
CC＋CC＋CC＋CC＋C＝771(种)．
法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C种选法，其中全是男代表的选法有C种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C－C＝771(种)．
(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C＝120种选法．
(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C－C＝540(种)．

在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．
解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：
0女5男，1女4男，2女3男，
由分类加法计数原理知总选法数为
C＋CC＋CC＝546(种)．

两类有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．　
甲、乙两人从4门课程中各选修2门，
求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？
(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC＝24(种)．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CC－C＝30(种)．
排列、组合的综合应用(高频考点)
排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：
(1)相邻、相间问题；
(2)分组、分配问题；
(3)特殊元素(位置)问题．
[典例引领]
角度一　相邻、相间问题
(2018·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有(　　)
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
【解析】　特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有CAA＝96种，故选C.
【答案】　C
角度二　分组、分配问题
(2018·福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　)
A．240种 B．180种
C．150种 D．540种
【解析】　5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，
当5名学生分成2，2，1时，共有CCA＝90种方法，
当5名学生分成3，1，1时，共有CA＝60种方法，
根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．
【答案】　C
角度三　特殊元素(位置)问题
从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．
【解析】　分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A＝6个；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2CA＝36个；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA＝9个．故这样的三位数共有51个．
【答案】　51

解排列、组合综合应用问题的思路
　
[通关练习]
1．高三某班课外演讲小组有4名男生，3名女生，从中选拔出3名男生，2名女生，然后让这5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方法种数有(　　)
A．864　　　　B．432 C．288　　　　D．144
解析：选A.选3男2女的选法有CC＝12种方法，5人在班内逐个进行演讲且两位女生不连续演讲，有AA＝72，所以共有12×72＝864种．
2．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)
A．AC B.AC C．AA D．2A
解析：选B.法一：将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种)．
所以不同的安排方法有CA(种)．
法二：先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCC＝AC(种)．
3．(2017·高考天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA＝960个，四个数字都是奇数的四位数有A＝120个，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
答案：1 080

对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；
(2)合理分类与准确分步；
(3)排列、组合混合问题先选后排；
(4)相邻问题捆绑处理；
(5)不相邻问题插空处理；
(6)定序问题排除法处理；
(7)分排问题直排处理；
(8)“小集团”排列问题先整体后局部；
(9)构造模型；
(10)正难则反，等价条件．
易错防范
(1)区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．
(2)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．不等式A＜6×A的解集为(　　)
A．[2，8]　　　　　　　　　 B．[2，6]
C．(7，12) D．{8}
解析：选D.由题意得＜6×，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8.
2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有CC种选法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种选法．所以由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49种不同选法．
3．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
解析：选C.从1，3，5中取两个数有C种方法，从2，4中取一个数有C种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为CCAA＝3×2×2×2×1＝24.
4．某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有(　　)
A．36种 B．68种
C．104种 D．110种
解析：选C.分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C－1)·A＝68种；第二类有(C－C)·A＝36种，所以共有N＝68＋36＝104(种)．
5. 如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为(　　)
A．30 B．42
C．54 D．56
解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即C－C－C＝42.
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
解析：选B.第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．
7．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为(　　)
A．1 860 B．1 320
C．1 140 D．1 020
解析：选C.当A，B节目中只选其中一个时，共有CCA＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有CAA＝180种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．
8．(2018·河南天一大联考)

如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有(　　)
A．360种 B．720种
C．780种 D．840种
解析：选B.由题意知2，3，4，5的颜色都不相同，先涂1：有6种方法，再涂2，3，4，5，有A种方法，故一共有6·A＝720(种)．
9．(2018·福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)
A．540 B．480
C．360 D．200
解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．
10．(2018·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1，2，3，4，5.要求1，4不相邻．分四类：①先排4，5时，则1只有1种排法，2，3在剩余的两个位上，这样有AA＝4种排法；②先排3，5时，则4只有1种排法，2，1在剩余的两个位上，这样有AA＝4种排法；③先排1，2时，则4只有1种排法，3，5在剩余的两个位上，这样有AA＝4种排法；④先排1，3时，则这样的数只有两个，即21534，43512，只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法，故选B.
11．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)
A．18种 B．24种
C．36种 D．72种
解析：选C.不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有CA＝18(种)；
②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有CA＝18(种)．
由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．
12．(2018·黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)
A．484 B．472
C．252 D．232
解析：选B.若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有CC＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C－3C＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．
13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．
解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11(种)．
答案：11
14．(2018·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)
解析：从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，有A种，故有N＝CA＝20种调整方案．
答案：20
15．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．
答案：660
16．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．
解析：首先排两个奇数1，3，有A种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8.
答案：8

1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有(　　)
A．144种 B．108种
C．72种 D．36种
解析：选C.从4种小车中选取2种有C种选法，从4个车库中选取2个车库有C种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有CCA＝72种不同的放法．故选C.
2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为(　　)
A．360 B．520
C．600 D．720
解析：选C.当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2CA＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为AA＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600，故选C.
3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．
解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．
一个正四面体中两条棱成60°角的有(C－3)对，两个正四面体有(C－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C－3)×2×2＝48(对)．

答案：48
4．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1
解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是CACA＝240.
答案：240
5．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．
(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有C·A＝A种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A种测试方法．所以共有A·A·A＝103 680种不同的测试方法．
(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C·C·A＝576种不同的测试方法．
6．集合A＝{x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.
(1)集合B中两位数和三位数各有多少个？
(2)集合B中是否有五位数？是否有六位数？
(3)将集合B中的元素从小到大排列，求第1 081个元素．
解：将0，1，…，9这10个数字按照和为9进行配对，(0，9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，B中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．
(1)两位数有C×22×A－C×2＝72(个)；
三位数有C×23×A－C×22×A＝432(个)．
(2)存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数．
(3)四位数共有C×24×A－C×23×A＝1 728(个)，
因此第1 081个元素是四位数，
且是第577个四位数，
我们考虑千位，千位为1，2，3的四位数有3×C×23×A＝576(个)，
因此第1 081个元素是4 012.