2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章2第2讲　两直线的位置关系

第2讲　两直线的位置关系

1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件
两直线位
置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2
平行
k1＝k2
k1与k2都不存在
垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、
另一个不存在
2. 两条直线的交点

3．三种距离

点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝

点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
4. 几种常见的直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
(教材习题改编)直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0　　　　　　 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：选A.由题意知，直线l的斜率是－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：选C.由题意知＝1，所以|a＋1|＝，又a＞0，所以a＝－1.
(教材习题改编)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是________．
解析：由直线l1与l2平行，可得解得a＝－3.
答案：－3
若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝________．
解析：由解得
将其代入x＋by＝0，得b＝－.
答案：－


　　　　　　两条直线平行与垂直(高频考点)
两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度：
(1)两条直线位置关系的判断；
(2)由两条直线位置关系求直线方程．
[典例引领]
角度一　两条直线位置关系的判断
设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．
【答案】　C
角度二　由两条直线位置关系求直线方程
(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________．
【解析】　法一：由方程组
解得即交点为，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝，
即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组可解得交点为，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
【答案】　4x－3y＋9＝0

两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　判断两条直线位置关系应注意：
(1)注意斜率不存在的特殊情况；
(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．　
[通关练习]
1．已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)
A．2或　　　　　　 B. 或－1
C. D．－1
解析：选B.因为直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝或a＝－1.故选B.
2．求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；
(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．
解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，
所以直线方程为x－2y＋7＝0.
(2)AB中点为，
即，
直线AB斜率kAB＝＝－，
故线段AB垂直平分线斜率k＝2，
所以其方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.

　　　　　　距离公式
[典例引领]
(1)已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
【解析】　(1)设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，
|AB|＝2.
由于△ABC的面积为2，
则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.
由点到直线的距离公式得＝，
即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.
因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
(2)依题意知，＝≠，
解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
又两平行线之间的距离为，
所以＝，因此c＝2或－6.
【答案】　(1)A　(2)2或－6

距离的求法
(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行直线间的距离
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．　
[通关练习]
1．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是(　　)
A．[－10，10]　　　　　　　 B．[－10，5]
C．[－5，5] D．[0，10]
解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为
＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
答案：12x＋8y－15＝0
3．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0

　　　　　　对称问题
[典例引领]
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
【解】　(1)设A′(x，y)，由已知

解得所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则

解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4，3)．
又因为m′经过点N(4，3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.

　
[通关练习]
1．(2018·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　)
A．2x＋3y－12＝0　　　　　 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.
2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．

解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.

答案：2

由一般式确定两直线位置关系的方法

直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
易错防范
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．
(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．　　

1．(2018·石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0　　　　　　 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
解析：选A.由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
2．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)
A．－10 B．－2
C．0 D．8
解析：选A.因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.
解得m＝－8.
又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，
解得n＝－2，所以m＋n＝－10.
3．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选A.直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1，1)，而直线y＝2x＋3上的点(0，3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝＝.
4．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为(　　)
A．15 B.
C．6 D.
解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，
kAB＝＝，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.令y＝0，则x＝，
即P点的坐标为(，0)，
|AB|＝＝2.
P到AB的距离为|PM|＝＝.
所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.
5．(2018·河南安阳模拟)两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　)
A．(5，＋∞) B．(0，5]
C．(，＋∞) D．(0， ]
解析：选D.当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，
所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， ]．
故选D.
6．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：设点P的坐标为，x0＞0，曲线y＝在点P处的切线斜率k2＝－(x0＞0)．
又因为曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝ex|x＝0＝1，k1k2＝－1，所以x＝1，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
7．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．
解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：
y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题设有＝，
即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
又若所求直线的斜率不存在，方程为x＝1，
满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
答案：4x－y－2＝0或x＝1
8．(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y＝2x－3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是
解得所以m＋n＝.
答案：
9．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，
因为a2≥0，所以b≤0.
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，
当且仅当a＝±1时等号成立，
因此|ab|的最小值为2.
10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.

1．(2018·洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D.
2．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2，4)　　　　　　 B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2，4)．故选C.
3．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知，kAC＝－2，A(5，1)，
所以lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC，lCM得所以C(4，3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
所以
所以B(－1，－3)，所以kBC＝，
所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
4．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
解：(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①
又线段BB′的中点在l上，故3a－b－6＝0.②
由①②解得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．
所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.
由可得P0(2，5)．
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′.
连接AC′交l于P1，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．
又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
故由可得P1.