2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章3第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin__αsin_β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos____α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
[提醒]　三角函数公式的变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
3．三角函数公式关系


判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
(教材习题改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos(＋α)为(　　)
A.　　　 B．－
C. D．－
解析：选A.因为cos α＝－，α是第三象限的角，
所以sin α＝－＝－ ＝－，
所以cos(＋α)＝cos cos α－sin sin α＝·(－)－·(－)＝.
(2017·高考江苏卷)若tan＝，则tan α＝________．
解析：tan α＝tan＝＝＝.
答案：
sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案：


　　　　　　三角函数公式的直接应用
[典例引领]
(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________．
(2)(2018·广州市综合测试(一))已知f(x)＝sin，若sin α＝，则f＝________．
【解析】　(1)因为α∈，且tan α＝＝2，所以sin α＝2cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝，则cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
(2)因为sin α＝，所以cos α＝－，所以f＝sin＝sin＝sin α＋cos α＝－.
【答案】　(1)　(2)－

利用三角函数公式应注意的问题
(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　
[通关练习]
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C. D．－
解析：选A.因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
2．(2018·湖南省东部六校联考)已知角α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B.因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝＝，所以sin＝2sincos＝，故选B.

　　　　　　三角函数公式的活用(高频考点)
三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：
(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；
(2)二倍角公式的活用．
[典例引领]
角度一　两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知sin α＋cos α＝，则sin2(－α)＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
【解析】　(1)由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，
解得sin 2α＝－，
所以sin2(－α)＝
＝＝＝.
(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
【答案】　(1)B　(2)B
角度二　二倍角公式的活用
＝________．
【解析】　法一：原式＝
＝＝tan 30°＝.
法二：原式＝
＝＝＝.
法三：因为＝＝.
又＞0，
所以＝.
【答案】　

三角函数公式的应用技巧
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．　
[通关练习]
1．(1－tan215°)cos215°的值等于(　　)
A.　　 B．1
C. D.
解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．(2018·河北衡水中学三调考试)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.由3cos 2α＝sin可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin α·cos α＝，故sin 2α＝－.故选C.

　　　　　　角的变换
[典例引领]
(1)(2018·四川成都摸底)已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D.
(2)(2018·六盘水质检)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【解析】　(1)因为sin 2α＝，2α∈，
所以cos 2α＝－，
tan 2α＝－，
tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝
＝－2.
(2)因为α∈，所以2α∈(0，π)．
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin 2α＝＝，
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
【答案】　(1)A　(2)D

若本例(2)条件不变，求cos 2β的值．
解：因为cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
所以cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝.

角的变换技巧
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．　
[通关练习]
1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan 的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.tan＝tan＝＝＝.
2．(2018·湖南郴州模拟)已知α∈，sin＝，则tan α＝________．
解析：因为α∈，sin＝，
所以α＋∈，
所以cos＝＝，
所以tan＝，
所以tan α＝tan＝＝.
答案：

运用三角函数公式时，不但要熟悉公式的直接应用，还要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．
易错防范
(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．
(2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°
＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°
＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.
2．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)
A．－1 B．0
C. D．1
解析：选A.因为sin＝cos，
所以cos α－sin α＝cos α－sin α，
所以sin α＝cos α，
所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.
3．若α∈，tan＝，则sin α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.因为tan＝＝，
所以tan α＝－＝，所以cos α＝－sin α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.
又因为α∈，所以sin α＝.
4．已知cos＝，则sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.sin＝sin
＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
5．(2018·兰州市实战考试)sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D.cos＝＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0<α<，所以sin α＋cos α＝，故选D.
6．(2018·贵州省适应性考试)已知α是第三象限角，且cos＝，则tan 2α＝________．
解析：由cos(π＋α)＝－cos α＝，得cos α＝－，又α是第三象限角，所以sin α＝－，tan α＝，故tan 2α＝＝.
答案：
7．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．
解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，因此有cos β＝－.
sin＝－sin(β＋)＝－sin βcos －cos βsin ＝.
答案：
8．(2018·兰州市高考实战模拟)若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝________．
解析：由sin α－sin β＝1－，得(sin α－sin β)2＝，即sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝－，①
由cos α－cos β＝，得cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，②
①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝，即cos(α－β)＝.
答案：
9．已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)＝
＝＝＝1.
10．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求cos θ的值．
解：(1)f＝Asin＝Asin ＝A＝，
所以A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin
＝3

＝6sin θcos ＝3sin θ＝，
所以sin θ＝.又因为θ∈，
所以cos θ＝＝＝.

1．(2018·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A.由于角α为锐角，且sin＝，则
cos＝，则cos
＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝.
2．(2018·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.
3．(2018·安徽重点中学联考)若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，
所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝.
由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，
因为α∈，所以tan α＞0，
所以cos α＋sin α＝0不满足条件；
由cos α－sin α＝两边平方得1－sin 2α＝，
所以sin 2α＝.
答案：
4．(2018·郑州第一次质量预测)△ABC的三个内角为A、B、C，若＝tan，则tan A＝_______________________________________________________________.
解析：＝＝
－＝－tan＝tan
＝tan，所以－A－＝kπ－(k∈Z)，所以A＝－kπ＋－＝－kπ＋＝－kπ＋，又在△ABC中，A∈(0，π)，所以tan A＝tan＝1.
答案：1
5．已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
解：(1)coscos
＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.
因为α∈，所以2α＋∈，
所以cos＝－，
所以sin 2α＝sin
＝sincos －cossin ＝.
(2)因为α∈，所以2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－.
所以tan α－＝－＝
＝＝－2×＝2.
6．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈，所以cos 2α＝＝，
所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈，β－∈，
sin＝，
所以cos＝，
于是sin 2＝2sin·cos＝.
又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，
又2β∈，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×
＝－.