2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第10章第4节　古典概型

第四节　古典概型

[最新考纲]　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率．

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型的特点

3．古典概型的概率计算公式：

P(A)＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． (　　)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．              (　　)

(3)概率为0的事件一定是不可能事件． (　　)

(4) 从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．                            (　　)

[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

D　[一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P＝＝.]

2．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

C　[把这4种颜色的花种在两个花坛中的所有情况为(红，黄)，(白，紫)；(红，白)，(黄，紫)；(红，紫)，(黄，白)；(黄，白)，(红，紫)；(黄，紫)，(红，白)；(白，紫)，(红，黄)，共有6种，其中红色和紫色的花种在同一花坛的情况有2种，所以红色和紫色的花种在同一花坛的概率P＝＝，故选C.]

3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.]

4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为        ．

　[掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.]

考点1　简单的古典概型

　计算古典概型事件的概率可分3步

(1)计算基本事件总个数n；

(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；

(3)代入公式求出概率P.

提醒：解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．

 (1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

(3)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

(1)D　(2)D　(3)A　[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．

乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．

乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．

根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝.

(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，

∴所求概率P＝＝.故选D.

(3)由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.]

　古典概型中基本事件个数的探求方法

(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．

(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识．

[教师备选例题]

1．设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)

A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.

A　[有序数对(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P(A)＝＝.]

2．用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为        ．

　[1,2,3,4,5可组成A＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有CC＝6个，故出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为＝.]

　1.(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　[将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为＝.故选C.]

2．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

A　[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，

∴基本事件总数n＝3×4＝12.

函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，

①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；

②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．

∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝.]

考点2　古典概型与统计的综合

　求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：

 　(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

[解](1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，

由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．

(ⅱ)由表格知，符合题意的所有可能结果为

{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．

所以，事件M发生的概率P(M)＝.

　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．

[教师备选例题]

某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；

(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；

(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．

[解](1)由题意知，样本数据的平均数

＝＝12.

(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为＝，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×＝30(个)．

(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，

记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，

故所求概率P(M)＝.

　移动公司拟在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．

(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；

(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6

人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．

[解](1)设事件A为“从中任选1 人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)＝＝.

(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个．

其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个．则P(B)＝.

故这2人获得相等优惠金额的概率为.