2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第1章第2节　充分条件、必要条件

第二节　充分条件、必要条件

[最新考纲]　1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2. 理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.3. 理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系．

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系

①判定定理中前提是结论的充分条件；

②性质定理中结论是前提的必要条件；

③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．

3．充分条件与必要条件的两个特征

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”则“q⇐p”．

②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”，则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”，则“p⇐r”)．

1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．

2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔AB；p是q的必要不充分条件⇔AB；p是q的充要条件⇔A＝B.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要条件.  (　　)

(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件． (　　)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．

  (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．已知m，n为两个非零向量，则“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则＜θ＜π，则cos θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.]

2．设x∈R，则“x3>1”是“|x|>1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由x3>1可得x>1，由|x|>1可得x>1或x<－1，故“x3>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件．故选A.]

3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]

 4.△ABC中，“sin A＝”是“cos A＝－”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

必要不充分　[△ABC中，sin A＝，所以cos A＝±，所以“sin A＝”是“cos A＝－”的必要不充分条件．]

考点1　充分、必要条件的判定

　充分条件和必要条件的3种判断方法

(1)定义法：可按照以下三个步骤进行

①确定条件p是什么，结论q是什么；

②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；

③确定条件p和结论q的关系．

(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如p是q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．

(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．

(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)A　(2)B　(3)C　[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.

(2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|0＜x＜2}，显然BA，

∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.

(3)|＋|＞||⇔|＋|＞|－|⇔2＋2＋2·＞2＋2－2·⇔·＞0，由点A，B，C不共线，得〈，〉∈，故·＞0⇔，的夹角为锐角．故选C.]

[逆向问题]　(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m＞　　　　　　 B．0＜m＜1

C．m＞0   D．m＞1

C　[若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.]

　判断充要条件需注意3点

(1)要分清条件与结论分别是什么．

(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．

(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．

1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的(　　)

A．充分必要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B　[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，

∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，

∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]

2．给定两个命题p，q，若p是q的必要不充分条件，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，但p q，其等价于p⇒q，但q p，故选A.]

3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)

A．充要条件

B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件

D．必要不充分条件

D　[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]

考点2　充分条件、必要条件的应用

　根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[0,3]　[由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

又S为非空集合，

则

∴0≤m≤3.

即所求m的取值范围是[0,3]．]

[母题探究]　把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．

[解]　由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则

解得m≥9，

即所求m的取值范围是[9，＋∞)．

　利用充要条件求参数的2个关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．

　设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

3或4　[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.

综上可知，n＝3或4.]