高考数学一轮复习讲义第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

这是一份高考数学一轮复习讲义第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件，共11页。试卷主要包含了四种命题及相互关系，四种命题的真假关系，充分条件与必要条件等内容，欢迎下载使用。

1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A⊉B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( × )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × )
(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．( √ )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √ )
1．下列命题为真命题的是( )
A．若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则eq \r(x)＝eq \r(y)D．若x答案 A
2．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.
3．(2016·慈溪中学高三适应性考试)设a，b为实数，则“lg2a>lg2b”是“eq \r(a)>eq \r(b)”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由lg2a>lg2b，得a>b>0，
而eq \r(a)>eq \r(b)⇔a>b≥0，
故lg2a>lg2b是eq \r(a)>eq \r(b)的充分不必要条件．
4．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；
②“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0))”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
答案 ①②
解析 易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.
题型一 命题及其关系
例1 (2016·湖州一模)有下列四个命题：
①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为( )
A．①②B．②③
C．①④D．①②③
答案 D
解析 ①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D.
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是( )
A．若x>0，则x2≤0
B．若x2>0，则x>0
C．若x≤0，则x2≤0
D．若x2≤0，则x≤0
(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福
D．不拥有的人们不幸福
答案 (1)C (2)D
题型二 充分必要条件的判定
例2 (1)(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 (1)D (2)A
解析 (1)若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
(2)由5x－6>x2，得2即q：2所以q⇒p，pq，所以綈p⇒綈q，綈q綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
(1)(2016·四川)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 (1)A (2)A
解析 (1)当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即qp，
故p是q的充分不必要条件．
(2)(等价法)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈p綈q，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件，故选A.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2， ∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
引申探究
1．若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且SP.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m<－2，,1＋m≥10.))
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
(1)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．
(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案 (1)(0,3) (2)[0，eq \f(1,2)]
解析 (1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴MN，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a＋1<4，))解得0(2)命题p为{x|eq \f(1,2)≤x≤1}，
命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝{x|x>1或x綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1>1，,a≤\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥1，,a<\f(1,2)，))
∴0≤a≤eq \f(1,2).
1．等价转化思想在充要条件中的应用
典例 (1)(2016·绍兴柯桥区二模)已知x，y∈R，则“(x－1)2＋(y－2)2＝0”是“(x－1)(y－2)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．
解析 (1)∵{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}
＝{(x，y)|x＝1且y＝2}，
{(x，y)|(x－1)(y－2)＝0}＝{(x，y)|x＝1或y＝2}．
∴{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}{(x，y)|(x－1)(y－2)＝0}，
故“(x－1)2＋(y－2)2＝0”是“(x－1)(y－2)＝0”的充分不必要条件．
(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．
∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.
答案 (1)A(2)A
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案 B
解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是( )
A．如果xB．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2
C．如果x<2ab，那么xD．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab
答案 C
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“≥”的否定是“<”．故答案C正确．
3．(2016·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．否定
答案 B
解析 命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
4．(2017·宁波十校联考)设a∈R，则“a<1”是“eq \f(1,a)>1”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由1－eq \f(1,a)＝eq \f(a－1,a)<0，得0所以“a<1”是“05．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
6．已知集合A＝{x∈R|eq \f(1,2)<2x<8}，B＝{x∈R|－1A．{m|m≥2}B．{m|m≤2}
C．{m|m>2}D．{m|－2答案 C
解析 A＝{x∈R|eq \f(1,2)<2x<8}＝{x|－1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，
即m>2，故选C.
7．设x>0，则“a＝1”是“x＋eq \f(a,x)≥2恒成立”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为x＋eq \f(a,x)≥2，x>0恒成立⇔a≥(2x－x2)max＝1，x>0，
所以“a＝1”是“x＋eq \f(a,x)≥2恒成立”的充分不必要条件，故选A.
8．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．
9．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A．a<0B．0C.eq \f(1,2)1
答案 A
解析 因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.
观察选项，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故选A.
*10.(2016·杭州二模)设函数f(x)＝asin(x＋α)＋bsin(x＋β)＋csin(x＋γ)，则“p：f(eq \f(π,2))＝0”是“q：f(x)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 f(x)可化为f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，
由f(eq \f(π,2))＝0可得sin(eq \f(π,2)＋φ)＝0，即csφ＝0.
易知csφ＝0⇔f(x)为偶函数，
所以p是q成立的充要条件．
11．有三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
其中真命题的序号为____________．
答案 ①
解析 命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充要
解析 若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，
又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．
当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，
∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．
故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．
反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数，
此时x－4∈[－1,0]，
∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，
则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．
∵y＝f(x)是偶函数，
∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．
故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．
13．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤m－1，,m＋1<3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－114．若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．
答案 [eq \f(3,2)，＋∞)
解析 若数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ故所求λ的取值范围是[eq \f(3,2)，＋∞)．
*15.下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
正确的是________．(填序号)
答案 ①④
解析 由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，
反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，
所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．
*16.已知集合A＝{y|y＝x2－eq \f(3,2)x＋1，x∈[eq \f(3,4)，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解 y＝x2－eq \f(3,2)x＋1
＝(x－eq \f(3,4))2＋eq \f(7,16)，
∵x∈[eq \f(3,4)，2]，∴eq \f(7,16)≤y≤2.
∴A＝{y|eq \f(7,16)≤y≤2}．
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤eq \f(7,16)，
解得m≥eq \f(3,4)或m≤－eq \f(3,4)，
故实数m的取值范围是(－∞，－eq \f(3,4)]∪[eq \f(3,4)，＋∞)．