2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.8曲线与方程

§9.8　曲线与方程
最新考纲
考情考向分析
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质.
3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.



1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤


概念方法微思考
1.方程y＝与x＝y2表示同一曲线吗？
提示　不是同一曲线.
2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？
提示　曲线的交点与方程组的关系
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线.(　×　)
(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)
(3)y＝kx与x＝y表示同一条直线.(　×　)
(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　×　)
题组二　教材改编
2.已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.椭圆
C.圆 D.抛物线
答案　D
解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.
3.曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______.
答案　2
解析　在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，
该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.
4.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________.
答案　x＋y－1＝0
解析　设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM，∵l1⊥l2.
∴|PM|＝|OM|，
而|PM|＝，|OM|＝.
∴＝，
化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程.
题组三　易错自纠
5.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是__________.
答案　x2＋y2＝4(x≠±2)
解析　连接OP，则|OP|＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).
6.平面内与两定点A(2,2)，B(0,0)距离的比值为2的点的轨迹是____________________.
答案　以为圆心，为半径的圆
解析　设动点P的坐标为(x，y)，
则|PA|＝2|PB|，
即＝2，
整理得，x2＋y2＋x＋y－＝0，
即2＋2＝.
故所求点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.

定义法求轨迹方程
例1　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.
解　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).
思维升华 定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程.
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
跟踪训练1　在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为______________.
答案　－＝1(x>)
解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，E，F分别为两个切点.

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.
所以|AB|－|AC|＝2<4，
所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，所以b＝，
所以顶点A的轨迹方程为－＝1(x>).
直接法求轨迹方程
例2　(1)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)
A.x2＝4y B.y2＝3x
C.x2＝2y D.y2＝4x
答案　A
解析　设点P(x，y)，则Q(x，－1)，
∵·＝·，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)2＝x2－2(y－1)，
整理得，x2＝4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.
解　如图，设动圆圆心O1(x，y)，

由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，化简得y2＝8x(x≠0).
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x.
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为________.
答案　x2＋3y2＝4(x≠±1)
解析　因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).
设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).
相关点法求轨迹方程
例3　(2019·安阳调研)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1
解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，
设点A的坐标为(x0，y0)，
由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)，①
直线A2B的方程为y＝(x－3)，②
由①②相乘得y2＝(x2－9).③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－，④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0).
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0).
思维升华　相关点法求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.
(4)检验：注意检验所求方程是否符合题意.
跟踪训练3　(2019·襄阳模拟)如图所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
解　(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，∴xP＝x，且yP＝y.
∵P在圆x2＋y2＝25上，∴x2＋2＝25，整理得＋＝1，
故轨迹C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y＝(x－3)，设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得，
＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，
∴x1＝，x2＝，则|AB|＝＝＝.
∴直线被曲线C所截线段的长度为.


1.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
答案　D
解析　原方程可化为或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
2.已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)
A.4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B.4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C.4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D.4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
答案　B
解析　可知AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x，y).
由题意可知×5×＝10，
所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
3.(2019·皖南八校联考)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)
A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
答案　D
解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0).连接MA，PM.

则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
4.(2020·湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
答案　A
解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，
∴化简得x＋2y－5＝0，即点C的轨迹是一条直线.
5.动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(　　)
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝4x D.y2＝－4x
答案　B
解析　双曲线x2－＝1的左焦点为F(－2,0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，其方程为y2＝－8x.
6.△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
答案　C
解析　设△ABC的内切圆与x轴相切于D点，
则D(3,0).
由于AC，BC都为圆的切线.
故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6<10.
所以点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝3，c＝5，所以b＝4.
所以所求轨迹方程为－＝1(x>3).
7.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.
下表给出了一些条件及方程：
条件
方程
①△ABC的周长为10
C1：y2＝25
②△ABC的面积为10
C2：x2＋y2＝4(y≠0)
③△ABC中，∠A＝90°
C3：＋＝1(y≠0)

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为(　　)
A.C3，C1，C2 B.C1，C2，C3
C.C3，C2，C1 D.C1，C3，C2
答案　A
解析　①△ABC的周长为10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0(y≠0)，与C2对应.故选A.
8.(2019·人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，y)，M(x，－4)，以线段PM为直径的圆经过原点O.则动点P的轨迹方程为________.
答案　x2＝4y
解析　由题意可得OP⊥OM，所以·＝0，所以(x，y)·(x，－4)＝0，即x2－4y＝0，所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.
9.已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________.
答案　＋＝1(y≠0)
解析　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4>2，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
10.如图，P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是____________.

答案　＋＝1
解析　由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
11.如图所示，Rt△ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点.

(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程.
解　(1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝.
∴BC：y＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)∵BC：x－y－4＝0，
令y＝0，得C(4,0).∴圆心M(1,0).
又∵|AM|＝3，∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，∵圆N过点P(－1,0)，
∴PN是该圆的半径.又∵动圆N与圆M内切，
∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3>2.
∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆.
∴a＝，c＝1，b＝＝＝.
∴圆心N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
12.已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)讨论轨迹C的形状.
解　(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ(x≠±1).
整理，得x2－＝1(λ≠0，x≠±1).
(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；
②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；
③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))；
④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).

13.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)

A.直线 B.抛物线
C.椭圆 D.双曲线的一支
答案　C
解析　可构造如图所示的圆锥.母线与AB所在直线(中轴线)的夹角为30°，然后用平面α去截圆锥，使直线AB与平面α的夹角为60°，则平面α与圆锥侧面的交线为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.故选C.

14.已知过点A(－3,0)的直线与x＝3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x＝－3相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为___________.
答案　＋＝1(y≠0)
解析　设点M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，mn≠0，则直线CD的方程为(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因为直线CD与圆x2＋y2＝9相切，所以＝3，所以mn＝9，又直线AC与BD的交点为M，
所以解得
所以－＝9，
所以点M的轨迹方程为＋＝1(y≠0).

15.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　　)
A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9
C.＋＝1 D.x2＝16y
答案　B
解析　∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；
B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，＋＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋＝1与M的轨迹有交点，满足题意；
D项，方程x2＝16y代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，故x2＝16y与M的轨迹有交点，满足题意.
16.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1,0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程.
解　(1)因为椭圆E的离心率为，所以＝.
解得a2＝2b2，故椭圆E的方程可设为＋＝1，
则椭圆E的左焦点坐标为(－b,0)，过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l′：y＝x＋b.
设直线l′与椭圆E的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得3x2＋4bx＝0，
解得x1＝0，x2＝－.
因为|AB|＝|x1－x2|＝＝，解得b＝1.
所以a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)①当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E的方程，得
消去y并整理，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，
所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.
化简并整理，得m2＝2k2＋1.
因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为y＝－(x－1).
联立得方程组解得
∴x2＋y2＝＝＝＝，
把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2.(*)
②当切线l的斜率为0时，此时Q(1,1)或(1，－1)，符合(*)式.
③当切线l的斜率不存在时，此时Q(，0)或(－，0)，符合(*)式.
综上所述，点Q的轨迹方程为x2＋y2＝2.