2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第五章5.2平面向量基本定理及坐标表示

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲
考情考向分析
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.




1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1).
3.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
概念方法微思考
1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示　不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.
2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示　不一定.两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.
3.已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若＝x＋y，写出x，y的关系式.
提示　x＋y＝1.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　√　)
题组二　教材改编
2.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.
答案　(1,5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x，6－y)，
即解得
3.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
答案　－
解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，所以＝－.
题组三　易错自纠
4.设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案　0
5.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
答案　(－7，－4)
解析　根据题意得＝(3,1)，
∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).
6.(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为(　　)
A.4 B.－4 C.2 D.－2
答案　B
解析　b＝2a＋b－2a＝(2,1)，
∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.

平面向量基本定理的应用
例1　如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值.
解　(1)由题意知，A是BC的中点，
且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
因为＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得解得
故λ＝.
思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.
(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.
(3)强化共线向量定理的应用.
跟踪训练1　在△ABC中，点P是AB上一点，且＝2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________.
答案　
解析　＝2，
即P为AB的一个三等分点，如图所示.

∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)
＝＋(x－1)，
而＝－，∴＝＋.
又＝＋＝－＋，
由已知＝t，可得
＋＝t，
又，不共线，∴解得t＝.

平面向量的坐标运算
例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标.
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).
∴M(0,20).
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18).
本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？
解　设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，
则＝(＋)，
即(x，y)＝[(－2,4)＋(3，－1)]＝，
所以线段AB中点的坐标为.
本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？
解　设AB的中点为P，O为坐标原点，
因为＝，
所以＝＋＝＋(＋)，
所以＝(＋＋)＝[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝，
所以重心G的坐标为.
思维升华 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.
跟踪训练2　(1)(2019·大连模拟)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A.(－2,3) B.(2，－3)
C.(－2,1) D.(2，－1)
答案　D
解析　设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
(2)(2019·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为(　　)
A.(6,1) B.(－6，－1)
C.(0，－3) D.(0,3)
答案　A
解析　＝(－3，－2)，∴＝＝－＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.
向量共线的坐标表示
命题点1　利用向量共线求参数
例3　(1)(2019·内江模拟)设向量a＝(x，1)，b＝(4,2)，且a∥b，则实数x的值是________.
答案　2
解析　∵a＝(x，1)，b＝(4,2)，且a∥b，
∴2x＝4，即x＝2.
(2)(2020·河南开封阶段性考试)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝________.
答案　0
解析　因为2m＋n＝(3λ＋4,4)，m－2n＝(－λ－3，－3)，且(2m＋n)∥(m－2n)，所以(－3)·(3λ＋4)－4·(－λ－3)＝0，解得λ＝0.
命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标
例4　已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ).
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3).
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，
因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，
即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3).
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3　(1)已知向量＝(k，12)，＝(4,5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　A
解析　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2).
∵A，B，C三点共线，∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.
(2)(2019·江西省红色七校联考)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝________.
答案　(1，－2)
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，
∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，
故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2).


1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　　)

A.(2,2) B.(－2，－2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
答案　D
解析　因为A(2,2)，B(1,1)，所以＝(－1，－1).故选D.
2.(2020·巴中模拟)向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于(　　)
A.(－2，－4) B.(2,4)
C.(6,10) D.(－6.－10)
答案　B
解析　＝－＝(2,4).故选B.
3.(2019·北京市石景山区模拟)已知平面向量a＝(k，2)，b＝(1,1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若a与b同向，则a＝mb(m>0)，
即(k，2)＝m(1,1)，
则得m＝2，k＝2，
即k＝2是a与b同向的充要条件，故选C.
4.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由题意知向量a，b不共线，
故2m≠3m－2，即m≠2.
5.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A.2 B. C.2 D.4
答案　A
解析　因为|OC|＝2，∠AOC＝，
所以C(，)，
又＝λ＋μ，
所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
6.已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵m∥n，
∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，
∴2sin2A＋2sin Acos A＝3，
∴1－cos 2A＋sin 2A＝3，
∴sin＝1，
∵A∈(0，π)，
∴2A－∈.
因此2A－＝，解得A＝，故选C.
7.若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.
答案　－
解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，
根据题意知∥，
∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
8.(2019·德阳模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，λ)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则实数λ＝________.
答案　－
解析　a＋2b＝(4,2λ－1)，2a－b＝(3，－2－λ)，
(a＋2b)∥(2a－b)，
∴4(－2－λ)＝3(2λ－1)，解得λ＝－.
9.(2019·河南省六市联考)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________.
答案　(6，－8)
解析　不妨设向量b的坐标为b＝(－3m，4m)(m<0)，
则|b|＝＝10，
解得m＝－2(m＝2舍去)，
故b＝(6，－8).
10.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.
答案　 k≠1
解析　若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线.
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
11.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)方法一　∵A，B，C三点共线，∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
方法二　＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.
12.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.

解　方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，

则＝＋，
因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，
所以||＝2，||＝4，
所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(1,0)，B，C(3，).
由＝λ＋μ，
得解得
所以λ＋μ＝6.

13.(2020·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量等于(　　)

A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　C
解析　设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝CD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以＝＋＝a＋b.
故选C.
14.(2019·南充模拟)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上， ∠AOB＝150°， ∠BOC＝90°， ||＝2, ||＝1, ||＝3，若＝λ＋μ，则等于(　　)

A.－ B. C.－ D.
答案　D
解析　由题意知A(2,0)，，C，

因为＝λ＋μ，由向量相等的坐标表示可得，
得
即＝，故选D.

15.(2019·上海市崇明区模拟)已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c都是非零向量，且a，b不共线，则该方程的解的情况是(　　)
A.至少有一个解 B.至多有一个解
C.至多有两个解 D.可能有无数个解
答案　B
解析　由平面向量基本定理可得，c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则方程ax2＋bx＋c＝0可变为ax2＋bx＋λa＋μb＝0，
即(λ＋x2)a＋(μ＋x)b＝0，
∵a，b不共线，∴
可知方程组可能无解，也可能有一个解.
∴方程ax2＋bx＋c＝0至多有一个解，故选B.
16.(2019·大连模拟)A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧 (包含端点)上一动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的取值范围.

解　如图以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，
∵ A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为，
∴ 点A，点B，
∴ ＝，＝，
即λ＝，μ＝，
∴ ＝λ＋μ＝，
又∵ C是劣弧 (包含端点)上一动点， 设点C坐标为(x，y)，
∴
∵ ＝λ＋μ＝＝(x，y)，
∴ ≤y＝≤1 ，解得1≤λ＋μ≤ ，
故λ＋μ的取值范围为.