2021高考数学一轮复习学案：第二章2.2函数的单调性


§2.2　函数的单调性


1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1 当x1f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值

概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示　对∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似．
2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．
提示　(－∞，－]和[，＋∞)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f (x)，有f (－1) (2)函数y＝f (x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)
(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(　×　)

题组二　教材改编
2.如图是函数y＝f (x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．f (x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数
B．f (x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f (x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时－1 答案　C
3．函数y＝在[2,3]上的最大值是______．
答案　2
4．若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞，2]
解析　由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.

题组三　易错自纠
5．函数f (x)＝(－2x2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．
答案　　[3，＋∞)
6．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1) 答案　[－1,1)
解析　由条件知
解得－1≤a<1.
7．设函数f (x)＝是单调函数．则a的取值范围是________；若f (x)的值域是R，则a＝________.
答案　(0,2]　2
解析　当x≥1时，f (x)＝＝x＋，则f′(x)＝1－≥0恒成立，
∴f (x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x)min＝f(1)＝2，
当x<1时，f (x)＝ax，
由于f (x)是单调函数，
∴f (x)＝ax在(－∞，1)上也单调递增，且ax≤2恒成立，
∴
故a的取值范围为(0,2]，
∵当x≥1时，f (x)≥2，
由f (x)的值域是R，可得当x＝1时，ax＝2，
故a＝2.

确定函数的单调性
命题点1　求具体函数的单调区间
例1　(1)(2019·郴州质检)函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案　D
解析　由x2－2x－8>0，得f (x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f (x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数f (x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.
(2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案　[0,1)
解析　由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．

命题点2　判断或证明函数的单调性
例2　讨论函数f (x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
解　方法一　∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1 f (x)＝a＝a，
f (x1)－f (x2)＝a－a
＝，由于x1 ∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
∴函数f (x)在(－∞，1)上单调递减．
方法二　f′(x)＝＝－，
∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，
故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．
思维升华　确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
跟踪训练1　(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝2－x
C．y＝ D．y＝
答案　A
解析　y＝＝，y＝2－x＝x，
y＝，y＝的图象如图所示．


由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．
(2)函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
答案　[1,2]
解析　f (x)＝
画出f (x)的大致图象(如图所示)，

由图知f (x)的单调递减区间是[1,2]．
(3)函数f (x)＝(6x2＋x－1)的单调增区间为________．
答案　
解析　由6x2＋x－1>0得，f (x)的定义域为.
由复合函数单调性知f (x)的增区间即y＝6x2＋x－1的减区间(定义域内)，
∴f(x)的单调增区间为.
函数单调性的应用
命题点1　比较函数值的大小
例3　(1)若函数f (x)＝x2，设a＝log54，b＝，c＝，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是(　　)
A．f (a)>f (b)>f (c) B．f (b)>f (c)>f (a)
C．f (c)>f (b)>f (a) D．f (c)>f (a)>f (b)
答案　D
解析　因为函数f (x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而0<＝log53 (2)已知定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数．记a＝f (log22)，b＝f (log24)，c＝f (2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．a 答案　B
解析　∵定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f (x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f (x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)是增函数．∵a＝f (log22)＝f (1)，b＝f (log24)＝f (2)，c＝f (2m)＝f (0)，∴a，b，c的大小关系为c
命题点2　求函数的最值
例4　(1)函数f (x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案　3
解析　由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x)在[－1,1]上单调递减，故f (x)在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.
(2)(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
答案　
解析　令＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(x＝0时取等号)．
即y最大值为.

命题点3　解函数不等式
例5　(1)已知函数f (x)＝若f (2－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是________．
答案　(－2,1)
解析　根据函数f (x)的图象可知，f (x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2 (2)已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．
答案　(－，－2)∪(2，)
解析　因为函数f (x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x2－4)<2得，f (x2－4)
命题点4　求参数的取值范围
例6　(1)已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
答案　C
解析　由f (x)是减函数，得
∴≤a＜，∴实数a的取值范围是.
(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案　(1,2]
解析　由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1 (3)已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,2)
解析　设u＝2－ax，
∵a>0且a≠1，
∴函数u在[0,1]上是减函数．
由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，
∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，
∴得a<2.
综上得1 思维升华　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2　(1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x)为R上的减函数，则满足f  答案　(－1,0)∪(0,1)
解析　因为f (x)在R上为减函数，且f 1，即0<|x|<1，所以0 (2)函数f (x)＝的最大值为________．
答案　2
解析　当x≥1时，函数f (x)＝为减函数，所以f (x)在x＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x<1时，易知函数f (x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f (0)＝2.
故函数f (x)的最大值为2.
(3)已知函数y＝(6－ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
答案　[4,5)
解析　设u＝6－ax＋x2，
∵y＝u为减函数，
∴函数u在[1,2]上是减函数，
∵u＝6－ax＋x2，对称轴为x＝，
∴≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．
∴解得4≤a<5，
∴实数a的取值范围是[4,5)．