2021高考数学一轮复习学案：第二章2.5指数与对数

§2.5　指数与对数

1．根式

(1)根式的概念

(2)两个重要公式

①＝

②()n＝a(注意a必须使有意义)．

2．有理指数幂

(1)分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理指数幂的运算性质

①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；

②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；

③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．

3．对数的概念

(1)对数的定义

①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.

(2)几种常见对数

4．对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

①＝N(a>0且a≠1，N>0)；

②logaaN＝N(a>0且a≠1)．

(2)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；

②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．

(3)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

④＝logaM.

概念方法微思考

根据对数的换底公式，

(1)思考logab与logba的关系；

(2)化简.

提示　(1)logab·logba＝1；

(2)＝logab.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　)

(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)

(3)2a·2b＝2ab.(　×　)

(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)

(5)若lg x2＝1，则x＝.(　×　)

题组二　教材改编

2．计算：＋(－9.6)0－×2＝________.

答案　

3．计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝________.

答案　1

4．已知lg 6＝a，lg 12＝b，那么用a，b表示lg 24＝________.

答案　2b－a

题组三　易错自纠

5．计算：＋＝________.

答案　2

6．下列各式：

①＝a；②(a2－2a－3)0＝1；③＝；④log318－log32＝2.

其中正确的是________．(填序号)

答案　④

解析　＝①错误；

当a2－2a－3≠0时，(a2－2a－3)0＝1，②错误；

＝－，＝＝，③错误；

log318－log32＝log39＝2，④正确．

7．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　)

A．a3a4＝a7   B．(－a2)3＝a6

C.＝a   D.＝－π

答案　AD

解析　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；

当a＝1时，显然不成立，故B不正确；

＝|a|，故C不正确；

＝－π，D正确．

指数幂的运算

1.(a>0)的值是________．

答案　

解析　＝＝＝.

2．计算2××＝________.

答案　6

解析　原式＝

3.＝________.

答案　

解析　原式＝＝.

4．若，则＝________.

答案　

解析　由，两边平方，得x＋x－1＝7，

再平方得x2＋x－2＝47.

∴x2＋x－2－2＝45.

＝＝3×(7－1)＝18.

思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

对数的运算

1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.

答案　

解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，

则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

解得m＝.

2．计算：÷＝________.

答案　－20

解析　原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg×10

＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

3．计算：＝________.

答案　1

解析　原式

＝

＝

＝＝＝＝1.

4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1  B．10.1  C．lg 10.1  D．10－10.1

答案　A

解析　两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，

令m2＝－1.45，m1＝－26.7，

lg ＝·(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10.1，

所以＝1010.1.

思维升华 对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

指数与对数的综合运算

例 (1)已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且＋＋＝0，求abc的值．

解　令ax＝by＝cz＝k.

由已知k>0且k≠1，

于是xlg a＝ylg b＝zlg c＝lg k，

故＝，＝，＝.

因为＋＋＝0，

所以＝0，

即＝0.

故lg(abc)＝0，得abc＝1.

(2)设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．

解　由题意，得

即

于是有

(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb

＝32－4＝5，

故logCa－logCb＝±.

于是＝－1＝＝±.

思维升华 指数、对数的综合运算，要充分利用指数、对数的定义、运算性质、换底公式，建立已知条件和所求式子间的联系．

跟踪训练 (1)(2019·南京模拟)若alog23＝1，blog35＝1，则9a＋5b＝________.

答案　7

解析　a＝log32，b＝log53，

于是9a＋5b＝

＝＋3＝4＋3＝7.

(2)方程－＝3x－1的实数解为________．

答案　x＝log32

解析　原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，

即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，

得x＝log32.

(3)若log2log3x＝log3log2y＝log2log2z＝1，则x2，y3，z4从小到大的排列为________．

答案　x2<z4<y3

解析　由题设得log3x＝2，log2y＝3，log2z＝2，

即x＝32，y＝23，z＝22，故x2＝34，y3＝29，z4＝28，

所以x2<z4<y3.