2021高三统考北师大版数学一轮学案：第11章第1讲　随机事件的概率


第十一章 概率
第1讲　随机事件的概率
基础知识整合

1．概率
(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
(3)概率的几个基本性质
①概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
②必然事件的概率：P(A)＝1.
③不可能事件的概率：P(A)＝0.
④概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
⑤对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
2．事件的关系与运算
名称
定义
符号表示
包含
关系
若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥
事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立
事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω

1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B.
C. D．1
答案　C
解析　设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是.
2．(2020·宁夏固原检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
答案　B
解析　∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．
3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件，也不是对立事件
答案　C
解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况加上“全是男生”构成全部基本事件，且不能同时发生，故事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”互为对立事件，且是互斥事件，故选C.
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为(　　)
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
答案　C
解析　记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.
5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
则这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数)．
答案　0.5173
解析　男婴出生的频率依次约是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约是0.5173.
6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为________．
答案　18
解析　设该班到会的女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以＝，解得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人．
核心考向突破
考向一　事件的概念
例1　从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．
解　从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．
(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．
(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．
(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．

1．准确把握互斥事件与对立事件
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

[即时训练]　1.(2019·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
答案　D
解析　A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．
考向二　随机事件的概率与频率
例2　(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
　　　　支付金额
支付方式　　　　
不大于2000元
大于2000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
解　(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．
所以估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1000＝400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则
P(C)＝＝0.04.
所以从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月支付金额大于2000元的概率为0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．

1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义可求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

[即时训练]　2.(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解　(1)由题意，知样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，
故所求概率为＝0.025.
(2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．
由古典概型的概率公式，得P(B)＝＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
精准设计考向，多角度探究突破
考向三　互斥、对立事件的概率
角度　　互斥事件的概率
例3　(2019·唐山模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解　(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，
所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．
由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，
由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
角度　　对立事件的概率
例4　(2020·扬州摸底)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1至4件
5至8件
9至
12件
13至
16件
17件
及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解　(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．

[即时训练]　3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

(2019·河南洛阳联考)某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
(1)若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量x(单位：份)的函数关系式；
(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量，整理得下表：
日需求量x/份
240
250
260
270
280
290
300
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设售报亭在这100天内每天都购进了280份报纸，求这100天的日平均利润；
②若某天售报亭购进了280份报纸，以这100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天的利润不超过100元的概率．
解　(1)当x≥280且x∈N*时，y＝280×(1－0.6)＝112；
当x<280且x∈N*时，y＝(1－0.6)x－0.5×(280－x)＝0.9x－140.
综上，y＝
(2)①由(1)得这100天中，日利润为76元的有10天，日利润为85元的有20天，日利润为94元的有16天，日利润为103元的有16天，日利润为112元的有38天，
所以这100天的日平均利润为

＝98.68(元)．
②利润不超过100元，即当且仅当报纸日需求量不大于260份，
故当天的利润不超过100元的概率为P＝0.1＋0.2＋0.16＝0.46.
答题启示
(1)准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义，提高识图和数据处理能力．
(2)正确判定事件间的关系，善于将复杂事件的概率转化为互斥事件或对立事件的概率．
对点训练
(2019·湖南长沙模拟)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

Y
51
48
45
42
频数

4


(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
解　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为

＝＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.