2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章第2讲　排列与组合


第2讲　排列与组合
[考纲解读]　理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题．(重点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点命题方向．预测2021年将会考查：①有条件限制的排列、组合问题；②排列、组合与其他知识的综合问题．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.

1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2．排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
(2)C＝＝
＝
性质
(1)0！＝1；A＝n!
(2)C＝C；C＝C＋C
4．常用结论
(1)①A＝(n－m＋1)A；
②A＝A；
③A＝nA.
(2)①nA＝A－A；
②A＝A＋mA.
(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.
(4)①C＝C；
②C＝C；
③C＝C.
(5)①kC＝nC；
②C＋C＋C＋…＋C＝C.

1．概念辨析
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有(　　)
A．10种 B．60种
C．125种 D．243种
答案　B
解析　由题意，知不同的填法有A＝60(种)．
(2)从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有________种．
答案　36
解析　分两类：
第1类是有1名女生，共有C·C＝2×15＝30种；
第2类是有2名女生，共有C·C＝1×6＝6种．
由分类加法计数原理，得共有30＋6＝36种．
(3)有大小和形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球，将它们排成一排，共有________种不同的排列方法．
答案　56
解析　8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有C＝56种排法．
(4)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．
答案　36
解析　先将4项工作分为3组，再排列，共有CA＝36种不同的方法．

题型一　排列问题　

7位同学站成一排：
(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？
解　(1)其中甲站在中间的位置，共有A＝720种不同的排法．
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA＝240种．
(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；
甲排头，共有A种不同的排法；
乙排尾，共有A种不同的排法；
甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；
故共有A－2A＋A＝3720种不同的排法．
(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA＝1440种．
(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．
若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A－2A)·A＝960种方法．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法．
再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．
(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：
解法一：(间接法)A－A·A＝3600种．
解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(称为“空”)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有：A·A＝3600种．
(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有＝2520种．
结论探究1　若将本例中的结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？
解　先将其余四个同学排好，有A种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有AA＝1440种方法．
结论探究2　若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？
解　7位同学站成一排，共有A种不同的排法；
甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有AA＝720种．
故共有A－AA＝4320种不同的排法．
结论探究3　(1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？
(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？
解　(1)站成两排(前3后4)，共有A＝5040种不同的排法．
(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法．

1．求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法
分类法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数．见举例说明(3)
分步法
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．见举例说明(4)
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．见举例说明(5)
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中．见举例说明(6)解法二
除法
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列．见举例说明(7)
间接法
对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法．见举例说明(3)，(5)解法二，(6)解法一
2．解决有限制条件排列问题的策略
(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．
(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．
提醒：(1)分类要全，以免遗漏．
(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．
(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确.

1．(2020·六盘山高级中学月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)
A．18 B．24
C．32 D．64
答案　B
解析　首先安排3辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当3辆车都在最左边时，不同的停放方法的种数为A，当左边2辆，最右边1辆时，不同的停放方法的种数为A，当左边1辆，最右边2辆时，不同的停放方法的种数为A，当最右边3辆时，不同的停放方法的种数为A，综上可知，共有不同的停放方法4×A＝24种．
2．(2019·青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场顺序的排法种数为________．
答案　60
解析　2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A·A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不能连续出场的排法共有N2＝A·A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.
题型二　组合问题

1．将12个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个桶中，要求每个桶中放入球的数量不得少于该桶的编号，则分配方案有(　　)
A．10种 B．12种
C．14种 D．16种
答案　A
解析　解法一：根据题意，先在编号为2,3,4的3个桶中分别放入1,2,3个小球，编号为1的桶里不放球，再将剩下的6个小球放入四个桶里，每个桶里至少一个，将6个球排成一排，中间有5个空，插入3块挡板分为四堆放入四个桶中即可，共C＝10种方法．
解法二：先在编号为1,2,3,4的四个桶中分别放入与编号相同的球数，剩余2个球，把2个球放入同一个桶中有4种方法，2个球放入不同的桶中有C＝6种方法，所以分配方案有4＋6＝10种．
2．(2019·泉州二模)某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有________(用数字填写答案)．
答案　16
解析　解法一：甲同学需从6门中选修3门，化学、生物至少选修一门，分为两类：第一类，化学、生物只选修1门，有C种选法，再从另外4门中选修2门，有C种选法，因此第一类共有CC种选法；第二类，化学、生物2门都选修，有C种选法，再从另外4门中选修1门，有C种选法，因此第二类共有CC种选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝16种．
解法二：甲同学需从6门中选修3门，共有C种选法．若甲同学化学、生物都不选修，即从物理、政治、历史、地理4门中选修3门，共有C种选法，所以甲同学需从6门中选修3门，其中化学、生物至少选修一门，共有C－C＝16种选法．
3．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声个数为________(用数字作答)．
答案　968
解析　依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C种不同的和声，则和声总数为C＋C＋C＋…＋C＝210－C－C－C＝1024－1－10－45＝968个．

1．组合问题的常见题型及解题思路
(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．
(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．见举例说明2.
2．两类带有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解.

1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法的种数是(　　)
A．60 B．63
C．65 D．66
答案　D
解析　因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使取出的4个不同的数的和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66种不同的取法．
2．(2019·丹东模拟)从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有(　　)
A．156种 B．168种
C．180种 D．240种
答案　B
解析　从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有C·C·C＝6×5×＝180种选法，服务队中没有女生的选法有C·C·C＝4×3×1＝12种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有180－12＝168种．
题型三　排列组合的综合应用　

角度1　排列组合的简单应用
1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(　　)
A．70种 B．140种
C．840种 D．420种
答案　D
解析　解法一：若选出的是2名男同学，1名女同学，则有CC种选法；若选出的是1名男同学，2名女同学，则有CC种选法．所以不同的安排方法有(CC＋CC)A＝420种．
解法二：从9名同学中任选3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查的安排方法有CA种，3名同学全是男同学或全是女同学的安排方法有(C＋C)A种，故选出的同学中男女均有的不同的安排方法有CA－(C＋C)A＝420(种)．
2．(2019·开封模拟)某班主任准备请2019届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答)．
答案　1080
解析　若甲、乙同时参加，则有CCCAA＝120种，若甲、乙有一人参与，则有CCA＝960种，从而总共的发言顺序有1080种．
角度2　分组分配问题
3．将6名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为(　　)
A．60 B．30
C．15 D．10
答案　C
解析　平均分成三组的方法种数为＝15.
4．(2019·湖南师大附中高考模拟)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为________．
答案　360
解析　解法一：根据6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：
①甲校安排1名教师，分配方案种数有
C(CCA＋CCA)＝150；
②甲校安排2名教师，分配方案种数有
C(CCA＋CC)＝140；
③甲校安排3名教师，分配方案种数有CCCA＝60；
④甲校安排4名教师，分配方案种数有CCC＝10；
由分类计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(种)分配方案．
解法二：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.
①对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC＝20(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有CCA＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)；
②对于第二种情况，李老师分配到一人组有CCAC＝40(种)，李老师分配到三人组有CCCA＝120(种)，李老师分配到两人组有CCCA＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)；
③对于第三种情况，共有CCCC＝60(种)；
综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．

1．解决简单的排列与组合综合问题的思路
(1)根据附加条件将要完成事件先分类．
(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．
(3)由分类加法计数原理计算总数．
2．分组、分配问题的求解策略
(1)对不同元素的分配问题
①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．见举例说明3.
②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.

1．(2019·山东省实验中学模拟)给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆工三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工，则不同的安排方法共有(　　)
A．12种 B．18种
C．24种 D．64种
答案　C
解析　完成这件事情分两类：(1)1人做木工，分两步．第一步，从除甲以外的3人中任选1人做木工，有C种方法；第二步，安排余下3人做泥工、油漆工，有CA种方法，因此，1人做木工共有CCA＝18(种)方法．(2)2人做木工，也分两步．第一步，从除甲以外的3人中选2人做木工，有C种方法；第二步，安排余下2人做泥工、油漆工，有A种方法．因此，2人做木工共有CA＝6(种)方法．综上所述，不同的安排方法共有18＋6＝24(种)．
2．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有(　　)
A．96种 B．124种
C．130种 D．150种
答案　D
解析　∵五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，∴可以把5个参会国分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是1,2,2.
当按照1,1,3来分时，共有CA＝60(种)；当按照1,2,2来分时，共有·A＝90(种)，根据分类加法计数原理，知共有60＋90＝150(种)．

　组　基础关
1．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
答案　C
解析　分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为CC＋CC＝49.
2．(2019·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(　　)
A．A种 B．A种
C．AA种 D．CCAA种
答案　D
解析　由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色、黄色菊花，故有CCAA种摆放方法．
3．(2020·石家庄摸底)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有(　　)
A．150 B．126
C．90 D．54
答案　B
解析　根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有·A种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C··A种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C·A种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C··A＋C·A＝108＋18＝126.故选B.
4．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120
C．144 D．168
答案　B
解析　解法一：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“，小品1，歌舞1，小品2，，相声，”，有ACA＝36种安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“，小品1，，相声，，小品2，”．有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
解法二：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．
5．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会．A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有(　　)
A．60种 B．48种
C．30种 D．24种
答案　B
解析　B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种坐法，B，C可以交换，有A＝2种坐法，其余三人坐剩余的三把椅子有A＝6种坐法，故共有4×2×6＝48种坐法．故选B.
6．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)
A.A种 B．CCC·34种
C.·43种 D．CCC·43种
答案　B
解析　要将12名同学平均分成四组，则有种，每个组选一名组长，故有·34种，每个组还要研究一个课题，并且只能研究一个课题，所以相当于四个组排列选课题，故有A·34＝CCC·34种．
7．(2019·湖南衡阳质检)现要给一长、宽、高分别为3,2,1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案有(　　)
A．48种 B．72种
C．96种 D．108种
答案　C
解析　若蓝绿选一个，由橙黄二选一，共三种颜色涂6个面，每一种颜色只能涂相对的面，故有CCA＝24(种)；若蓝绿选两个，由橙黄二选一，故共有4种颜色，红色只能涂相对的面，还有4个面，故不同的涂色方案有CCCA＝72(种)，根据分类加法计数原理，共有24＋72＝96(种)．故选C.
8．(2020·柳州模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
答案　472
解析　解法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为CC，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为CC，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C－CC－CC＝472.
解法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为CCC＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为CCCC＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为CCCC＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为CCC＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．
9．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)．
答案　1260
解析　若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1260.
10．(2019·郑州三模)12本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少1本且至多6本，则不同的分配方法共有________种．
答案　25
解析　12本相同的资料书分配给三个班级，共有6类分配方法：
三个班级的资料书的数量分别为1,5,6，有A＝6(种)分配方法；
三个班级的资料书的数量分别为2,4,6，有A＝6(种)分配方法；
三个班级的资料书的数量分别为2,5,5，有C＝3(种)分配方法；
三个班级的资料书的数量分别为3,3,6，有C＝3(种)分配方法；
三个班级的资料书的数量分别为3,4,5，有A＝6(种)分配方法；
三个班级的资料书的数量分别为4,4,4，有1种分配方法．
故共有6＋6＋3＋3＋6＋1＝25(种)分配方法．
　组　能力关
1．(2019·长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是(　　)
A．72种 B．144种
C．240种 D．288种
答案　D
解析　第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有CA＝6种排法．第二步，假设剩下的两对夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三种情况讨论：①x1，x2中间有一个元素，如果是A，则y1，y2在两端，有2种排法，如果是y1，y2中的一个，有12种排法；②x1，x2中间有两个元素，只能是A和y1，y2中的一个，总共有8种排法；③x1，x2中间有三个元素，有2种排法．因为x1，x2有顺序，所以仅有一对夫妻相邻的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(种)．
2．(2019·泸州模拟)若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有________个(　　)
A．53 B．59
C．66 D．71
答案　D
解析　从0,1,2,3,4,5,6,7中取四位相加和为10的可能组合包括{1,2,3,4}，{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}，用{1,2,3,4}组成的无重复数字的“完美四位数”有A个；因为0不能放在千位上，所以{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}组成的无重复数字的“完美四位数”有4(A－A)个；因此用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的“完美四位数”共有A＋4(A－A)＝96个，其中由{1,2,3,4}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}组成的“完美四位数”中小于2017的分别各有A＝6个，由{0,1,2,7}组成的“完美四位数”中小于等于2017的有A＋1＝7个，由{0,2,3,5}组成的“完美四位数”中小于等于2017的有0个，因此大于2017的“完美四位数”共有96－3×6－7－0＝71个．
3．(2019·安徽六校教育研究会第一次联考)某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有(　　)
A．222种 B．253种
C．276种 D．284种
答案　A
解析　每个场馆至少有一个名额的分配方法相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分割符号，则有C＝253(种)，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)，(6,6,12)，(7,7,10)，(8,8,8)，(9,9,6)，(10,10,4)，(11,11,2)，再对场馆分配，共有3×10＋1＝31(种)，所以每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有253－31＝222(种)．
4．电影院一排有10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．
答案　40
解析　除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成6个空，三人从6个空中选3个位置坐上去有C种坐法，因为甲坐在中间，所以乙、丙有A种坐法，所以他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有CA＝40(种)．
5．(2020·惠州摸底)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有________种．
答案　120
解析　因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．
当A在第一位时，有AA＝48(种)；
当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有CAA＝36(种)；
当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有AA种，②E，F在A之后，此时应有AAA种，故而A在第三位时有AA＋AAA＝36(种)．
综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．
6．(2019·河北省五校联考)春节到了，学校图书馆需要贴春联．图书馆一共三层，每层都有藏书室和阅览室两个房间，加上图书馆大门，一共需要七副春联．吴老师为图书馆写了三副内容不同的楷书春联、两副内容不同的行书春联、两副内容不同的隶书春联．这七副春联共有________种不同的贴法；若图书馆大门必须贴楷书春联，一楼不贴行书春联，二楼不贴隶书春联，则共有________种贴春联的方法．
答案　5040　456
解析　这七副春联共有A＝5040种不同的贴法．由题意，知大门有C种贴法．对一楼贴春联的方法进行分类讨论：当一楼选用2副隶书春联时，一、二、三楼共有AA＝48(种)贴法；当一楼选用1副隶书春联时，一、二、三楼共有CCAAA＝96(种)贴法；当一楼选用0副隶书春联时，一、二、三楼共有AAA＝8(种)贴法．故共有C×(48＋96＋8)＝3×152＝456(种)贴法．