2020版高考数学一轮复习课后限时集训35《空间点直线平面之间的位置关系》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(三十五)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．下列命题中，真命题的个数为(    )

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；  ②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.

A．1          B．2      C．3      D．4

B　[根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]

2．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(    )

A．垂直          B．相交   C．异面   D．平行

D　[∵m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，

∴n在平面α内，m与平面α相交于点A，

∴m和n异面或相交，一定不平行．]

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(    )

A．相交          B．异面   C．平行   D．垂直

A　[由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．]

4．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(    )

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

C　[对于A，B，D，a与c可能相交、平行或异面，因此A，B，D不正确，根据异面直线所成角的定义知C正确．]

5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(    )

A.            B.   C.         D.

D　[连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．

连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，

则A1C1＝，A1B＝BC1＝，

在△A1BC1中，由余弦定理得

cos∠A1BC1＝＝.]

二、填空题

6．(2019·长春模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号)

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；

③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；

④—条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

①②　[命题①错，没有公共点的两条直线平行或异面；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不平行；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，可知a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．]

7．(2019·荆门模拟)已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．

30°　[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．

由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，

GE∥CD，且GE＝CD＝2，

∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．

又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.

因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，

sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，

∴EF与CD所成角的度数为30°.]

8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

②③④　[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]

三、解答题

9．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；

(2)三直线FH，EG，AC共点．

[证明]　(1)连接EF，GH，

因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.

又因为CG＝BC，CH＝DC，

所以GH∥BD，

所以EF∥GH，

所以E，F，G，H四点共面．

(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH∩AC＝M，

所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.

又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，

所以M∈EG，所以FH，EG，AC共点．

10．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱锥P­ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

[解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2，

三棱锥P­ABC的体积为

V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

B组　能力提升

1．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(    )

A.          B.      C.      D.

B　[画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．

设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，

设EF的中点为O，

连接CO，则EF∥BD，

则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．

△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，

易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF.

因为OE＝OF，所以CO⊥EF.

又EO＝EF＝BD＝，

所以cos∠FEC＝＝＝.]

2.如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：

①直线MN⊂平面PQR；

②点K在直线MN上；

③M，N，K，A四点共面．

其中正确结论的序号为________．

①②③　[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，

从而点M，N，K∈平面PQR.

所以直线MN⊂平面PQR，故①正确．

同理可得点M，N，K∈平面BCD.

从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．

因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．]

3．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

　[如图，将原图补成正方体ABCD­QGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，

所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，

在△AGP中，AG＝GP＝AP，

所以∠APG＝.]

4．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

[解]　(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，

所以GHAD.

又BCAD，

故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：

由BEFA，G是FA的中点知，BEGF，

所以EFBG.

由(1)知BG∥CH，

所以EF∥CH，故EC，FH共面．

又点D在直线FH上，

所以C，D，F，E四点共面．