2020版高考数学一轮复习课后限时集训12《实际问题的函数建模》文数（含解析）北师大版

课后限时集训(十二)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2019·银川模拟)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为(　　)

A．3 000元　　　　　　 B．3 800元

C．3 818元 D．5 600元

B　[由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为

y=

显然稿费应为800＜x≤4 000，则0.14(x－800)=420，解得x=3 800，故选B.]

2．(2019·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(　　)

A．85元 B．90元

C．95元 D．100元

C　[设每个售价定为x元，则利润y=(x－80)·[400－(x－90)·20]=－20[(x－95)2－225]，

∴当x=95时，y最大．]　

3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　　)

D　[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]

4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)  (　　)

A．3　　 B．4  C．5　　　　D．6

B　[设至少要洗x次，则x≤，

∴x≥≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.]

5．(2019·泰安模拟)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　)

A．40万元 B．60万元

C．120万元   D．140万元

C　[甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2=40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4=40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元)，共获利40＋80=120(万元)，故选C．]

二、填空题

6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升．

8　[因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000=600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升)．]

7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

20　[设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得=，解得y=40－x，所以面积S=x(40－x)=－x2＋40x=－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x=20时，Smax=400.]

8．(2019·成都模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx＋b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

24　[由已知条件，得192=eb，∴b=ln 192.又∵48=e22k＋b=e22k＋ln 192=192e22k=192(e11k)2，∴e11k===.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t=e33k＋ln 192=192e33k=192(e11k)3=192×3=24.]

三、解答题

9．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P=80＋4，Q=a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．

(1)求f(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？

[解]　(1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，

∴f(50)=80＋4＋×150＋120=277.5万元．

(2)f(x)=80＋4＋(200－x)＋120=－x＋4＋250，

依题意得⇒20≤x≤180，

故f(x)=－x＋4＋250(20≤x≤180)．

令t=∈[2，6]，则f(x)=－t2＋4t＋250=－(t－8)2＋282，

当t=8，即x=128时，f(x)max=282万元．

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．

10．(2019·太原模拟)为了迎接国庆节，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．

(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

[解]　(1)当x≤6时，y=50x－115.令50x－115＞0，解得x＞2.3.

∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.

当x＞6时，y=[50－3(x－6)]x－115.

令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0.

又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)，

故y=

(2)对于y=50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x=6时，ymax=185.

对于y=－3x2＋68x－115=－32＋(6＜x≤20，x∈N*)，当x=11时，ymax=270.又∵270＞185，

∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

B组　能力提升

1．(2019·莆田模拟)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是  (　　)

A．8　　  B．9　　　　C．10　　　　D．11

C　[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，

由n＜，得n≥10，

所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C．]

2．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　)

A．5 B．8  C．9 D．10

A　[∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，

∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a，

可得n=ln，∴f(t)=a·，

因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，

f(k)=a·=a，即=，∴k=10，

由题可知m=k－5=5，故选A．]

3．(2019·唐山模拟)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数)，广告效应为D=R－A．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)．

a2　[令t=(t≥0)，则A=t2，

∴D=a－A=at－t2=－2＋a2，

∴当t=a，即A=a2时，D取得最大值．]

4．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是θ=m·2t＋21－t(t≥0且m>0)．

(1)如果m=2，求经过多长时间，物体的温度为5 ℃；

(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．

[解]　(1)若m=2，则θ=2·2t＋21－t=2，

当θ=5时，2t＋=，

令2t=x(x≥1)，则x＋=，

即2x2－5x＋2=0，

解得x=2或x=(舍去)，

∴2t=2，即t=1，

∴经过1 min，物体的温度为5 ℃.

(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，

即m·2t＋≥2恒成立，

亦即m≥2恒成立．

令=x，则0<x≤1，

∴m≥2(x－x2)．

∵x－x2=－2＋≤，∴m≥.

因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m的取值范围是.