人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第13讲 反比例函数 教学案（无答案）
展开第13讲 反比例函数
【考点总汇】
反比例的函数的图象和性质
1.反比例函数（为常数，）的图象是 ，且关于 对称。
2.反比例函数（为常数，）的图象和性质
函数 | 图像 | 所在象限 | 性质 | |
（为 常数，） | 象限 （，同号） | 在每个象限内，随的增大而 | ||
象限 （，异号） | 在每个象限内，随的增大而 | |||
微拨炉：
由于反比例函数的图象是间断的两支曲线，因此应用其增减性时，必须强调在每一象限内。 |
高频考点1、反比例函数的图象和性质
【范例】图1所示矩形中，，，与满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形的斜边过点，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.当增大时，的值增大
D.当增大时，的值不变
得分要领：
1.反比例函数的图象位置只与系数的正负有关，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限。
2.反比例函数的增减性：（1）当时，在每一象限内随的增大而减小；（2）当时在每一象限内随的增大而增大。
【考题回放】
1.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值可能是（ ）
A.0 B.2 C.3 D.4
2.关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A.图象经过点（1，1） B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于轴成轴对称 D.当时，随的增大而减小
3.若点1，和点2，在反比例函数图象上，则与的大小关系是 （填“”“”“”）。
4.已知反比例函数（是常数，），在其图象所在的每一个象限内，的值随着的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是 （只需写一个）。
高频考点2、确定反比例函数的解析式
【范例】已知：如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点1，4、点－4，。
（1）求一次函数和反比例函数的解析式。
（2）求△的面积。
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围。
得分要领：
用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤：
1.设：设所求反比例函数为；
2.列：根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含的方程；
3.解：解方程得待定的系数的值；
4.代：把的值代入反比例函数，得出答案。
【考题回放】
1.若反比例函数的图象经过－2，3，则该函数的图象不经过的点是（ ）
A.（3，－2） B.（1，－6） C.（－1，6） D.（－1，－6）
2.已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 。
3.已知反比例函数，当时，。
（1）求的值。 （2）当时，求函数值的取值范围。
高频考点3、反比例函数的几何意义
【范例】如图，,两点在双曲线上，分别经过,两点向轴，轴作垂线段，已知，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D. 6
得分要领：
中系数的几何意义
1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；
2.在反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是定值。
【考题回放】
1.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A,两点，轴于点，则△的面积为（ ）
A.1 B.2 C. D.
2.如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，菱形的两条对
角线的长分别是6和4。反比例函数的图象经过点，则的值为 。
3.如图，四边形是矩形，是正方形，点,在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点,在反比例函数的图象上，，，则正方形的边长为 。
高频考点4、反比例函数的综合应用
【范例】将油箱注满升油后，轿车可行驶的总路程（单位：千米）与平均耗油量（单位：升/千米）之间是反比例函数关系（是常数，）。已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米。
（1）求该轿车可行驶的总路程与平均耗油量之间的函数解析式（关系式）。
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
得分要领：
建立反比例函数模型解决实际问题的两种思路：
1.通过问题提供的信息，知道变量之间有什么关系，在这种情况下，可先设出函数解析式，再由已知条件确定解析式中的字母系数即可。
2.问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，此时要通过分析，找出变量间的关系并确定函数解析式。
【考题回放】
1.如图，已知直线分别与轴，轴交于,两点，与双
曲线交于,两点，若，则的值是（ ）
A.－1 B.1 C. D.
2.甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。
（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为元，优惠后得到商家的优惠率为，写出与之间的函数关系式，并说明随的变化情况。
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是元，你认为选择哪家商场购买商品花钱比较少？请说明理由。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】如图，直线与双曲线在第一象限的交点为，过点作轴于点,将△绕点旋转90，得到△，则点的坐标为 。
解：解方程组 得 或
∵点在第一象限
∴, ∴
当△绕点旋转90得到
∴
∴点的坐标为（2，－1）
答案：（2，－1）
【规避策略】
当遇到与旋转有关求点的坐标变化的题目时，若旋转方向不明确，需分类讨论确定答案。
【实战演练】
1.若双曲线的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.不存在
2.关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A.必经过点（1，1） B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于轴成轴对称 D.两个分支关于原点成中心对称
3.若点1，，2，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4.在闭合电路中，电流、电压、电阻之间的关系为。电压（伏特）一定时，电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数关系的大致图象是（ ）
A. B C. D
5.如图，直线和双曲线交于,两点，是线段上的点（不与,重合），过点,,分别向轴作垂线，垂足分别是,,连接,,，设△面积是，△面积是，△面积是，则（ ）
A. B.
C. D.
6.设函数与的图象的交点坐标为则的值为 。
7.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，
且∥轴，,在轴上，若四边形为矩形，
则它的面积为 。
8.已知一次函数与反比例函数的图象相交于点－4，－1，－1，。
（1）求反比例函数和一次函数的关系式。
（2）根据图象回答：当为何值时，一次函数与反比例函数的值都小于－1？
9.如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点2，2和点。
（1）写出点的坐标，并求的值。
（2）根据图象，比较和的大小。
（3）将直线向右平移个单位长度，得到的图象记为，若点3，－2关于直线的对称点落在坐标轴上，请直接写出的值。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标为（－3，2），若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，已知是反比例函数图象上的一个动点，是轴上的一动点，且。那么当点在图象上自左向右运动时，△的面积（ ）
A.增大 B.减小 C.不变 D.无法确定
3.一次函数与反比例函数，在同一
直角坐标系中的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A.或 B.或
C. D.
4.若点（－2，），（－1，），（1，）在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.已知反比例函数的图象经过点（－1，2），当时，所对应的函数值的取值范围是 。
6.如图，点(2，6是函数图象上的一点，
以为半径作扇形，交轴于点，交轴于点，
且与函数图象交于点。从点分别9
向轴，轴作垂线，则图中阴影部分的面积是 。
7.如图，点3，在双曲线上，过点作
轴，垂足为。线段的垂直平分线交于点，则△
周长的值是 。
三、解答题（共26分）
8.（12分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象的一个交点为－2，。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点是反比例函数图象上一点，且，求点的坐标。
【培优训练】
9.（14分）为预防“禽流感H7N9”，对教室进行“熏药消毒”。已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的关系如图所示（即图中线段和双曲经在点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的函数解析式及自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2 mg时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
