2022年中考数学一轮复习第11讲《函数与一次函数性质》讲学案(含答案)

中考数学一轮复习第11讲《函数与一次函数性质》

【考点解析】

知识点一：函数及其变量定义

【例题】（广西南宁3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的概念．

【分析】根据函数的意义求解即可求出答案．

【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．

故选D．

【点评】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．

【变式】

（黑龙江龙东·3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥2　．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．

【解答】解：由题意，得

3x﹣6≥0，

解得x≥2，

故答案为：x≥2．

知识点二、待定系数法求一次函数解析式．

【例题】（浙江湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=−2时，y=−4，求这个一次函数的解析式．

【答案】y=x—2．

【分析】设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 分别将x=3，y=1和x=−2，y=−4分别代入y=kx+b得方程组，解这个方程组即可求得k、b的值，也就求得了函数的解析式．

【解析】设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 将x=3，y=1和x=−2，y=−4分别代入y=kx+b得，,

解这个方程组得，．

∴所求一次函数的解析式为y=x—2．

【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

【变式】

17.（2014•福建龙岩，第23题12分）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题：

（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按　  　元收取；超过5吨的部分，每吨按　  　元收取；

（2）请写出y与x的函数关系式；

【解析】（1）由图可知，用水5吨是8元，每吨按8÷5=1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按（20﹣8）÷（10﹣5）=2.4元收取；

（2）根据图象分x≤5和x＞5，分别设出y与x的函数关系式，代入对应点，得出答案即可；

【解答】解：1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按2.4元收取；

（2）当x≤5时，设y=kx，代入（5，8）得

8=5k，

解得k=1.6

∴y=1.6x；

当x＞5时，设y=kx+b，代入（5，8）、（10，20）得

解得k=2.4，b=﹣4

∴y=2.4x﹣4；

【点评】此题考查一次函数的实际运用，结合图形，利用基本数量关系，得出函数解析式，

知识点三、函数图像与性质

【例题】（四川宜宾）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）

A．乙前4秒行驶的路程为48米

B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C．两车到第3秒时行驶的路程相等

D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度

【考点】函数的图象．

【分析】根据函数图象和速度、时间、路程之间的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案．

【解答】解：A、根据图象可得，乙前4秒行驶的路程为12×4=48米，正确；

B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度每秒增加4米秒/，正确；

C、根据图象可得两车到第3秒时行驶的路程不相等，故本选项错误；

D、在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度，正确；

故选C．

【变式】

（黑龙江龙东·3分）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（　　）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤时，以及当＜t≤2时，当2＜t≤3时，求出函数关系式，即可得出答案．

【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s，

∴s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s增大，

当0≤t≤时，s=×1×1+2×2﹣=﹣t2；

当＜t≤2时，s=×12=；

当2＜t≤3时，s=﹣（3﹣t）2=t2﹣3t，

∴A符合要求，故选A．

知识点四、一次函数图象与几何变换．

【例题】（2014•山东济南，第12题，3分）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（　　）

A．（，3）B．（，）C．（2，2）D．（2，4）

【解析】翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质．作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A（0，2），B（2，0）和∠BAO=30°，运用直角三角形求出MB和MO′，再求出点O′的坐标．

【解答】解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，

∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（0，2），B（2，0），

∴∠BAO=30°，

由折叠的特性得，O′B=OB=2，∠ABO=∠ABO′=60°，

∴MB=1，MO′=，

∴OM=3，ON=O′M=，

∴O′（，3），

故选：A．

【点评】本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．

【变式】

（江苏徐州中考一模）将函数y=-5x的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（  ）

A．y=-5x+3          B．y=-6x-3           C．y=-5（x+3）          D．y=-5（x-3）

【答案】A．

【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．

【解析】将函数y=-5x的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为y=-5x+3．

故选A．

【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．

知识点五、两条直线相交或平行

【例4】（广西来宾）过点（0，﹣2）的直线：（）与直线：交于点P（2，m）．

（1）写出使得的x的取值范围；

（2）求点P的坐标和直线的解析式．

【答案】（1）x＜2；（2）P（2，3），．

【分析】（1）观察函数图象可得到当x＜2时，直线在直线的下方，则；

（2）先P（2，m）代入可求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式．

【解析】（1）当x＜2时，；

（2）把P（2，m）代入得m=2+1=3，则P（2，3），

把P（2，3）和（0，﹣2）分别代入得：，解得：，所以直线的解析式为：．

【点评】此题主要考查了利用函数图象比较大小、待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是能分析图象，并能根据一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式．

【变式】

（陕西·3分）已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】两条直线相交或平行问题．

【分析】根据k的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限，然后根据b的情况即可求得交点的位置．

【解答】解：∵一次函数y=kx+5中k＞0，

∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限．

又∵一次函数y=k′x+7中k′＜0，

∴一次函数y=k′x+7的图象经过第一、二、四象限．

∵5＜7，

∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限，

故选A．

【典例解析】

【例题1】（黑龙江齐齐哈尔·3分）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（　　）

A． B． C． D．

【考点】一次函数的图象．

【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，

∴y=6﹣x（0＜x＜6，0＜y＜6）．

∵点A的坐标为（4，0），

∴S=×4×（6﹣x）=12﹣2x（0＜x＜6），

∴C符合．

故选C．

【例题2】（广西桂林·3分）如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（　　）

A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣3

【考点】一次函数与一元一次方程．

【分析】所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．

【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，

∵直线y=ax+b过B（﹣3，0），

∴方程ax+b=0的解是x=﹣3，

故选D

【例题3】（山东潍坊·3分）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　（2n﹣1，2n﹣1）　．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．

【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．

【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，

∴A1点坐标（1，0），

∵四边形A1B1C1O是正方形，

∴B1坐标（1，1），

∵C1A2∥x轴，

∴A2坐标（2，1），

∵四边形A2B2C2C1是正方形，

∴B2坐标（2，3），

∵C2A3∥x轴，

∴A3坐标（4，3），

∵四边形A3B3C3C2是正方形，

∴B3（4，7），

∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，

∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．

故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．

【中考热点】

考点1：（湖北黄石·3分）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可．

【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，

曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．

故选（A）

【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．解得此类试题时注意，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．

考点2：（内蒙古包头·3分）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（　　）

A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．

【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．

【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．

令y=x+4中x=0，则y=4，

∴点B的坐标为（0，4）；

令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，

∴点A的坐标为（﹣6，0）．

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，

∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．

∵点D′和点D关于x轴对称，

∴点D′的坐标为（0，﹣2）．

设直线CD′的解析式为y=kx+b，

∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），

∴有，解得：，

∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．

令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，

∴点P的坐标为（﹣，0）．

故选C．

考点3：（广西桂林·3分）已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．

【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．

【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，

∴点A的坐标为（0，3）；

令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，

解得：x=，

∴点B的坐标为（，0）．

∴AB=2．

∵抛物线的对称轴为x=，

∴点C的坐标为（2，3），

∴AC=2=AB=BC，

∴△ABC为等边三角形．

令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，

解得：x=﹣，或x=3．

∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．

△ABP为等腰三角形分三种情况：

①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；

②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；

③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．

故选A．