2022年中考数学总复习第7讲《二元一次方程组及其应用》讲解(含答案) 学案

第7讲　二元一次方程组及其应用

二元一次方程组及解法

1．(·舟山)若二元一次方程组的解为则a－b＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1                 B．3             C．－             D.

2．(·温州)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是(　　)

A.          B.        C.         D.

3．(·金华)解方程组

【问题】对于二元一次方程2x＋y＝10.

(1)求其正整数解；

(2)若x＋y＝7，求x，y的值；

(3)对于(1)、(2)中的x，y值的求法，你有何体会？.

　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二元一次方程整数解类问题；会选择并运用代入、加减消元法解二元一次方程组．

类型一　二元一次方程(组)的有关概念

　(1)(·永康模拟)已知是关于x，y的二元一次方程x－ay＝3的一个解，则a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1               B．－1              C．2             D．－2

(2)(·南宁)已知是方程组的解，则3a－b＝________；

(3)已知关于x，y的方程组的解为则m＝________，n＝________.

【解后感悟】(1)解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程；(2)解题的关键是观察两方程的系数，从而求出3a－b的值；(3)通过二元一次方程组的解的概念，转化为解m，n的二元一次方程组，并且会用代入消元法或加减消元法解方程组．注意“消元法”的运用．

1．(1)(·毕节)已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为(　　)

A．m＝1，n＝－1

B．m＝－1，n＝1

C．m＝，n＝－

D．m＝－，n＝

(2)已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2－4y2的值为____________________．

类型二　二元一次方程(组)的解法

　解方程(组)：

(1)方程x＋3y＝9的正整数解是________；

(2)(·成都)

(2)

【解后感悟】二元一次方程的解法，把一个未知数的代数式表示另一个末知数是解题的关键．对于二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

2．解方程组：(1)(·聊城)

(2)1－6x＝＝.

类型三　二元一次方程组的综合问题

　已知方程组与的解相同，求a，b的值．

【解后感悟】几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程(或方程组)即可．

　(·枣庄)Pn表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：

Pn＝·(n2－an＋b)(其中，a，b是常数，n≥4)

(1)      通过画图，可得四边形时，P4＝　　　　　　　　(填数字)；五边形时，P5＝

　　　　　　　　(填数字)；

(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．

【解后感悟】先通过数形结合和特殊数据来解决简单问题，再利用上述方法构建二元一次方程组模型解决一般性问题．

3．已知方程组的解x，y的和为12，求n的值．

4.当m取什么值时，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解．

类型四　二元一次方程组的应用

　(·佛山)某景点的门票价格如下表：

某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．

(1)两个班各有多少名学生？

(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？

【解后感悟】本题是二元一次方程组解决实际问题的运用和分类思想的应用．解答时注意分两班人数和多于50人且少于100人和两班人数和多于100人两种情况讨论．

5．八(1)班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：

(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；

(2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．

①求E同学的答对题数和答错题数；

②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．

【实际应用题】

1．(·自贡)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：

“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组__________________．

2．(·济宁)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是____________．

【方法与对策】这是两道数学史的材料题，构建二元一次方程组来解决实际问题，关键是揭示数量关系．该题型是中考命题的一种形式．

【二元一次方程的解，二元一次方程组的解理解不清】

方程组的解对方程2x－3y＝－5而言(　　)

A．是这个方程的唯一解

B．是这个方程的一个解

C．不是这个方程的解

D．以上结论都不对

参考答案

第7讲　二元一次方程组及其应用

【考点概要】

两个　1　相同　两个　公共解　一元一次　代入　加减

【考题体验】

1．D　

2.       A　

3.

【知识引擎】

【解析】(1)　　　

(2)　(3)对于(1)只要把方程变形为用一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后利用正整数解这个条件来求；对于(2)是解方程组，其基本思想是“消元”，体现了数学的化归思想．消元的方法根据方程组的结构特点，选择代入消元法或加减消元法．

【例题精析】

例1　(1)B；(2)5；(3)m＝5，n＝1.　例2　(1)解得：x＝－3y＋9，当y＝1时，x＝6；当y＝2时，x＝3；故正整数解是(2)两式相加得4x＝4，解得x＝1，将x＝1代入第一个式子，解得y＝2，所以方程组的解为(3)方程组可化为由②得，x＝5y－3③，③代入①得，5(5y－3)－11y＝－1，解得y＝1，把y＝1代入③得，x＝5－3＝2，所以，原方程组的解是　例3　由题意得解之得把代入得

整理得解得

例4　(1)由画图，可得当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5.

(2)将上述数值代入公式，得

解之，得

例5　(1)设七年级(1)班有x名学生，七年级(2)班有y名学生，若两班人数和多于50人且少于100人，有解得不合题意，舍去．若两班人数和多于100人，有解得答：七年级(1)班有49名学生，七年级(2)班有53名学生．　(2)∵49×(12－8)＝196，53×(10－8)＝106，∴团体购票与单独购票相比较，七年级(1)班节约了196元，七年级(2)班节约了106元．

【变式拓展】

1．(1)A　(2)　2.(1)　(2)　3.解法一：解方程组得又∵x＋y＝12，∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14.

解法二：已知方程组②－①，得x＋2y＝2，∵x＋y＝12，∴把代入①，得n＝2×22＋3×(－10)＝44－30＝14.　4.m＝－.　5.(1)82.5分．　(2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得解得答：E同学答对12题，答错1题．　②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．

【热点题型】

1．【分析与解】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式，则可以列方程组：

2．【分析与解】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组

【错误警示】

B. 理由：由上述解法可知是方程2x－3y＝－5的一个解．