数学必修 第一册3.3 幂函数当堂检测题

这是一份数学必修 第一册3.3 幂函数当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十一) 幂函数


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，则k＋α等于( )


A.eq \f(1,2) B．1


C.eq \f(3,2) D．2


A [∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，∴k＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \r(2)，即α＝－eq \f(1,2)，∴k＋α＝eq \f(1,2).]


2．如 所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )





A．①y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))，②y＝x2，③y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，④y＝x－1


B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，④y＝x－1


C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，④y＝x－1


D．①y＝x3，②y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，③y＝x2，④y＝x－1


B [因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]


3．幂函数的图象过点(3, eq \r(3))，则它的单调递增区间是( )


A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)


C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)


B [设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3, eq \r(3))，所以f(3)＝3α＝eq \r(3)＝3eq \s\up12(eq \f(1,2))，解得α＝eq \s\up12(eq \f(1,2))，所以f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]


4．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是( )


A．1,3 B．－1,1


C．－1,3 D．－1,1,3


A [当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当α＝eq \f(1,2)时，函数y＝xeq \f(1,2)的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.]


5．幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )


A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)


C．[0，＋∞) D．(－∞，－2)


C [由题意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f(x)＝x2.


所以二次函数f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．]


二、填空题


6．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,3)))，则f(6)＝________.


eq \f(1,36) [依题意eq \f(1,3)＝(eq \r(3))m＝3eq \s\up12(eq \f(m,2))，所以eq \f(m,2)＝－1，m＝－2，


所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝eq \f(1,36).]


7．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.


－1 [∵f(x)＝(m2－m－1)x2m－3为幂函数，


∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.


当m＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．


综上可知，m＝－1.]


8．若幂函数y＝xeq \s\up12(eq \f(m,n)) (m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．





①m，n是奇数，且eq \f(m,n)<1；②m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)>1；③m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)<1；④m，n是偶数，且eq \f(m,n)>1.


③ [由题图知，函数y＝xeq \s\up12(eq \f(m,n))为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以eq \f(m,n)<1，选③.]


三、解答题


9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xeq \s\up12(m2＋m－1)，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．


[解] (1)若函数f(x)为正比例函数，则


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.


(2)若函数f(x)为反比例函数，则


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.


(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq \r(2).


10．已知幂函数y＝f(x)经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,8))).


(1)试求函数解析式；


(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．


[解] (1)由题意，得f(2)＝2α＝eq \f(1,8)，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.


(2)∵f(x)＝x－3＝eq \f(1,x3)，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．


∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，


∴该幂函数为奇函数．


当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．





11．当0

A．h(x)

C．g(x)

D [特值法．取x＝eq \f(1,2)代入排除A、B、C，可知D正确．故选D.]


12．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq \r(x)；⑤f(x)＝eq \f(1,x).其中满足条件feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)(x1>x2>0)的函数的个数是( )


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


A [①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(fx1＋fx2,2)；


②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))

③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))

④函数f(x)＝eq \r(x)的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)；


⑤在第一象限，函数f(x)＝eq \f(1,x)的图象是一条凹形曲线，


故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))

故仅有函数f(x)＝eq \r(x)满足当x1>x2>0时，


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2).故选A.]


13．已知幂函数f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，若f(10－2a)

3

易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，


又f(10－2a)

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,10－2a≥0，,a＋1>10－2a，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－1，,a≤5，,a>3，))


所以3

14．(一题两空)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，函数g(x)＝(x－2)f(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤1))，则函数g(x)的最大值为________，最小值为________．


－1 －3 [因为f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，所以eq \f(1,2)＝2α，


所以α＝－1，所以f(x)＝x－1，


所以g(x)＝(x－2)·x－1＝eq \f(x－2,x)＝1－eq \f(2,x).


又g(x)＝1－eq \f(2,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是增函数，


所以g(x)最小值＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－3，


g(x)最大值＝g(1)＝－1.]





15．已知幂函数f(x)＝xeq \s\up5(－eq \f(1,2)p2＋p＋eq \f(3,2)) (p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数．


(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；


(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4,0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．


[解] (1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质知－eq \f(1,2)p2＋p＋eq \f(3,2)>0，解得－1

因为p∈N，所以p＝2,1,0.


当p＝0或2时，f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(3,2))，不是偶函数；当p＝1时，f(x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f(x)＝x2.


(2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0)．因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4,0)时，t∈(0,16)．当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0,16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4,0)上是增函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝eq \f(－2q－1,2－q)＝1－eq \f(1,2q)＝16，所以q＝－eq \f(1,30).故存在实数q＝－eq \f(1,30)，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数，且在(－4,0)上是增函数.