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数学必修 第一册3.3 幂函数表格教案设计
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这是一份数学必修 第一册3.3 幂函数表格教案设计，共5页。教案主要包含了复习引入，新课探究，小结，作业等内容，欢迎下载使用。
《幂函数》教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
（用多媒体出示以下5个问题，同时出示相关图象.每个问题的结论由学生说出，然后再在多媒体屏幕上出示）
问题1：如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜kg，那么她需要支付元，这里是的函数；
问题2：如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数；
问题3：如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数；
问题4：如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；
问题5：如果某人s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度km/s，即，这里是的函数.
学生阅读、思考、交流、口答，教师板演.
师：观察上述例子中的函数模型，这几个函数解析式有什么共同特征？
生：这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
师：我们把这种函数叫做幂函数.
（引入新课，书写课题）
引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.培养学生的观察、归纳、概括能力，提升数学抽象素养.
概念形成
幂函数的定义：
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
师：请同学们举出几个具体的幂函数.
生：如，，等都是幂函数.
师：是幂函数吗？
学生对比定义，得出否定答案.
加深学生对幂函数的定义和呈现形式的理解。
概念深化
1.研究幂函数的图象.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
2.通过观察图象，完成教材第90页探究中的表格.
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
定义域
值域
奇偶性
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递减
3.幂函数的性质.
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点.
（2）时，幂函数的图象都通过原点，并且在上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当时，，的图象都在图象的下方，形状向下凸.越大，下凸的程度越大.（你能找出原因吗？）
当时，，的图象都在的图象上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大.（你能说出原因吗？）
（3）时，幂函数的图象在区间
上是减函数.
在第一象限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
引导学生自己动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图象，并观察图象.教师利用几何画板等软件画出这5个函数的图象并展示.
让学生通过观察图象，结合以往学习函数的经验，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格.
师：所有图象都过第几象限？所有图象都不过第几象限？
为什么？
生：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当时所有幂函数都有意义，且函数值都为正.
师：所有图象都过哪些点？
生：都过点.
师：什么样的幂函数的图象过原点，什么样的幂函数的图象不过原点？
生：幂的指数为正数时，函数图象过原点.幂的指数为负数时，函数图象不过原点.
师：图象在第一象限的位置关系是什么样的？
生：当时，指数小的图象在上方.当时，指数大的图象在上方.
通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中，使学生自然形成研究问题的一般思路.
在探究幂函数的性质和图象的变化规律的过程中，提升学生的直观想象和数学抽象素养.
应用举例
例 证明幂函数是增函数.
证明：函数的定义域是.
，，且，
则
.
因为，.
所以，
即幂函数在上是增函数.
小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性.注意：在证得后，要比较与的大小，要注意分母的符号.
请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答.教师板书或投影答案.
教师强调教材中此例题的地位和作用：
（1）复习利用定义证明单调性的过程；
（2）幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明；
（3）注意：幂函数的单调性很容易观察得出，所以在证明过程中直接用到了单调性，如直接判断.
增强学生对新知的应用能力，从而达到能力转型和对知识的理解.让学生在分析、证明的过程中提升逻辑推理素养.
归纳小结
1.幂函数的定义.
2.幂函数的图象.
3.幂函数的性质.
学生回顾反思，教师点评完善.
形成知识体系.
布置作业
教材第91页练习第1，2，3题.
学生独立完成.
巩固知识，提升能力.
板书设计
3.3 幂函数
一、复习引入
二、新课探究
1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数
2.幂函数的图象
3.填表
幂函数的性质
4.例题
例 证明幂函数是增函数
三、小结
四、作业
教学研讨
本案例从具体的实例入手，通过观察、概括、总结共同特征，抽象出幂函数的概念，进而通过画图象、观察图象初步得到函数的性质.最后通过一道例题进行理论证明函数的单调性，既是复习，也是加深对幂函数的进一步认识.本案例的设计较好地提升了学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养.
幂函数作为基本初等函数出现在高中数学中，地位和重要性不言而喻，是不是在案例中要强调幂函数的特征（比如系数为1，只有一项）？另外，案例设置了证明某个幂函数的单调性，对于利用幂函数的单调性去比较两数的大小的题型没有涉及，是不是也需要补充这方面的例题和练习呢？这些都值得思考.
《幂函数》教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
（用多媒体出示以下5个问题，同时出示相关图象.每个问题的结论由学生说出，然后再在多媒体屏幕上出示）
问题1：如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜kg，那么她需要支付元，这里是的函数；
问题2：如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数；
问题3：如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数；
问题4：如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；
问题5：如果某人s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度km/s，即，这里是的函数.
学生阅读、思考、交流、口答，教师板演.
师：观察上述例子中的函数模型，这几个函数解析式有什么共同特征？
生：这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
师：我们把这种函数叫做幂函数.
（引入新课，书写课题）
引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.培养学生的观察、归纳、概括能力，提升数学抽象素养.
概念形成
幂函数的定义：
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
师：请同学们举出几个具体的幂函数.
生：如，，等都是幂函数.
师：是幂函数吗？
学生对比定义，得出否定答案.
加深学生对幂函数的定义和呈现形式的理解。
概念深化
1.研究幂函数的图象.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
2.通过观察图象，完成教材第90页探究中的表格.
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
定义域
值域
奇偶性
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递减
3.幂函数的性质.
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点.
（2）时，幂函数的图象都通过原点，并且在上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当时，，的图象都在图象的下方，形状向下凸.越大，下凸的程度越大.（你能找出原因吗？）
当时，，的图象都在的图象上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大.（你能说出原因吗？）
（3）时，幂函数的图象在区间
上是减函数.
在第一象限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
引导学生自己动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图象，并观察图象.教师利用几何画板等软件画出这5个函数的图象并展示.
让学生通过观察图象，结合以往学习函数的经验，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格.
师：所有图象都过第几象限？所有图象都不过第几象限？
为什么？
生：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当时所有幂函数都有意义，且函数值都为正.
师：所有图象都过哪些点？
生：都过点.
师：什么样的幂函数的图象过原点，什么样的幂函数的图象不过原点？
生：幂的指数为正数时，函数图象过原点.幂的指数为负数时，函数图象不过原点.
师：图象在第一象限的位置关系是什么样的？
生：当时，指数小的图象在上方.当时，指数大的图象在上方.
通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中，使学生自然形成研究问题的一般思路.
在探究幂函数的性质和图象的变化规律的过程中，提升学生的直观想象和数学抽象素养.
应用举例
例 证明幂函数是增函数.
证明：函数的定义域是.
，，且，
则
.
因为，.
所以，
即幂函数在上是增函数.
小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性.注意：在证得后，要比较与的大小，要注意分母的符号.
请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答.教师板书或投影答案.
教师强调教材中此例题的地位和作用：
（1）复习利用定义证明单调性的过程；
（2）幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明；
（3）注意：幂函数的单调性很容易观察得出，所以在证明过程中直接用到了单调性，如直接判断.
增强学生对新知的应用能力，从而达到能力转型和对知识的理解.让学生在分析、证明的过程中提升逻辑推理素养.
归纳小结
1.幂函数的定义.
2.幂函数的图象.
3.幂函数的性质.
学生回顾反思，教师点评完善.
形成知识体系.
布置作业
教材第91页练习第1，2，3题.
学生独立完成.
巩固知识，提升能力.
板书设计
3.3 幂函数
一、复习引入
二、新课探究
1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数
2.幂函数的图象
3.填表
幂函数的性质
4.例题
例 证明幂函数是增函数
三、小结
四、作业
教学研讨
本案例从具体的实例入手，通过观察、概括、总结共同特征，抽象出幂函数的概念，进而通过画图象、观察图象初步得到函数的性质.最后通过一道例题进行理论证明函数的单调性，既是复习，也是加深对幂函数的进一步认识.本案例的设计较好地提升了学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养.
幂函数作为基本初等函数出现在高中数学中，地位和重要性不言而喻，是不是在案例中要强调幂函数的特征（比如系数为1，只有一项）？另外，案例设置了证明某个幂函数的单调性，对于利用幂函数的单调性去比较两数的大小的题型没有涉及，是不是也需要补充这方面的例题和练习呢？这些都值得思考.
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