中考数学专项练习：17.图形的相似

中考数学专项练习：17.图形的相似

图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2019·天津初三学业考试）如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）

A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2
2．（2014·天津初三期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是

A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
3．（2018·天津初三期末）如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）

A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
4．（2018·天津初三期末）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
5．（2019·天津初三期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为

A． B． C． D．
6．（2018·全国专题练习）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
7．（2018·四川中考真题）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　

A． B． C． D．
8．（2016·贵州中考真题）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）

A．BC=3DE B． C．△ADE～△ABC D．S△ADE=S△ABC
9．（2015·甘肃中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）

A．m=5 B．m= C．m= D．m=10
10．（2019·四川中考真题）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A． B．
C． D．
11．（2018·湖北中考真题）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C．-1 D．+1
12．（2011·浙江中考真题）（11·台州）若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16
13．（2015·湖北中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）

A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．
14．（2013·上海中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( )

A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
15．（2018·贵州中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）

A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
16．（2012·山东中考真题）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）．

A． B． C． D．2
17．（2013·湖北中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）

A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1
18．（2011·湖南中考真题）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：
①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．
正确的有（ ）个．

A．4 B．3 C．2 D．1


二、填空题
19．（2015·天津中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为_________．

20．（2013·天津中考真题）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为　　　　．

21．（2019·天津中考真题）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．

22．（2013·黑龙江中考真题）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可）

23．（2017·北京中考真题）如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点.若S△CMN=1，则S四边形ABNM=________.

24．（2018·四川中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．

25．（2018·湖北中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．

26．（2015·江苏中考真题）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____．

27．（2017·四川中考真题）在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为_____．

28．（2015·江苏中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 ．

29．（2018·上海中考真题）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．

30．（2012·山东中考真题）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．


三、解答题
31．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

32．（2013·浙江中考真题）如图1，点A是ｘ轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点．将点M绕点A顺时针方向旋转900得到点C，过点C作ｘ轴的垂线，垂足为F，过点B作ｙ轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点．连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为ｔ，

（1）当ｔ=2时，求CF的长；
（2）①当ｔ为何值时，点C落在线段CD上；
②设△BCE的面积为S，求S与ｔ之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿ｘ轴左右平移得到，再将A，B，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出符合上述条件的点坐标，
33．（2018·四川中考真题）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E。
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

34．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．

35．（2012·湖南中考真题）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．

（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
36．（2013·湖南中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
37．（2018·贵州中考真题）如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

38．（2015·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

39．（2013·山东中考真题）如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，点C的坐标为（－18，0）.

（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式.
40．（2018·江苏中考真题）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为　 　°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．
（画一画）
如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
（算一算）
如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长；
（验一验）
如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

41．（2013·湖南中考真题）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
42．（2013·山东中考真题）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

43．（2014·浙江中考真题）课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

44．（2011·广西中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点
A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速
度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后
第ts时，△EFG的面积为Scm2．
(1)当t＝1s时，S的值是多少？
(2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

45．（2011·新疆中考真题）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【详解】
解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴．
故选D．
2．B
【解析】
∵DE∥BC，∴．
又∵AE=6，，∴．故选B．
3．A
【解析】
【分析】
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】
由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴，
又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
【点睛】
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
4．D
【解析】
试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C．当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选D．
考点：相似三角形的判定．
5．C
【解析】
∵，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED。∴。
∴。故选C。
6．D
【解析】
【分析】
根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】
解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】
点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
7．C
【解析】
【分析】
如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【详解】
如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=a，
∴FM=a，
∵AE∥FM，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．D
【解析】
试题分析：∵BD=2AD，∴AB=3AD，∵DE∥BC，∴=，∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，∴，B结论正确；
∵DE∥BC，∴△ADE～△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，∴S△ADE=S△ABC，D结论错误，故选D．
考点：平行线分线段成比例．
9．B
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中点，∴2EB=AB=CD，∴，即，解得m=．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
10．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
11．C
【解析】
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12．A
【解析】
试题分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1:4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比.
∵两个相似三角形的面积之比是1:4，
∴两个相似三角形的相似比是1:2.
∴两个相似三角形的周长之比是1:2.
故选择A.
考点：相似三角形的性质.
13．D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】
解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
14．A
【解析】
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴，，
∴，
∴，
∴，即.
故选A.
点睛：若，则，.
15．C
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果.
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
16．B
【解析】
【分析】
可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【详解】
∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，
∴ABEF是正方形．
又∵AB=1，
∴AF= AB=EF=1．
设AD=x，则FD=x－1．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即．
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
故选B．
【点睛】
考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
17．C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理.
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD,
∴
故选C.
18．B
【解析】
：首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD．
19．．
【解析】
试题分析：首先根据DE∥BC证得两三角形相似，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
试题解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，又∵AD=3，DB=2，BC=6，∴AB=AD+DB=5，即：，∴DE=．
考点：相似三角形的判定与性质．
20．7
【解析】
试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．
∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．
∴，即．
∴．
21．
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长
【详解】
解：在正方形中，∠BAD=∠D =，

∴∠BAM+∠FAM=
在Rt中，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=
∴∠BAM+∠ABM=
∴∠ABM=∠FAM
∴
∴ ，∴
∴AM=, ∴AG=
∴GE=5-
【点睛】
本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
22．∠C=∠BAD（答案不唯一）
【解析】
试题分析：∵∠B=∠B（公共角），
∴可添加：∠C=∠BAD．
此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．
故答案可为：∠C=∠BAD．
考点：相似三角形的判定．
23．3
【解析】∵M、N分别是边AC、BC的中点，
∴MN∥AB，且MN=（中位线定理），
∴△CMN∽△CAB.
∴=（面积比等于相似比的平方），得S△CAB=4，
∴S四边形ABNM=S△CAB-S△CMN=4-1=3.
24．
【解析】
【分析】
由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【详解】
∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：DE= ，
∵DF=DB=2，
∴EF=DF-DE=2- = ，
故答案为：.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
25．
【解析】
【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
【详解】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，
∴BC==9，
S△ABC=AB•AC=BC•AF，
∴3×6=9AF，
AF=2，
∴AA'=2AF=4，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴，
∴，
∴A'E=，
即AD+DE的最小值是，
故答案为．

【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.
26．5
【解析】
试题解析：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=5．
考点：相似三角形的判定与性质．

27．1
【解析】
【详解】
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=1.
故答案为1.
28．6．
【解析】
试题解析：∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得BC=6．
考点：相似三角形的判定与性质．
29．
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可．
【详解】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC•AH=6，
∴AH==3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，解得x=，
即正方形DEFG的边长为，
故答案为．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.
30．解：∠D=∠B或∠AED=∠C。
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可。
【详解】
解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．
31．(1)点C的坐标为(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD＝．
【解析】
【分析】
(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；
(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；
(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．
【详解】
(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为(2，3+2)；
(2)∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3(负值舍去)，
∴OA＝3；
(3)OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴，即，
解得MN＝，ON＝，
∴AN＝AM﹣MN＝，
在Rt△OAN中，OA＝，
∴cos∠OAD＝．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．
32．详见解析
【解析】
【分析】
（1）由Rt△ABO∽Rt△CAF即可求得CF的长．
（2）①点C落在线段CD上，可得Rt△CDD∽Rt△BOD，从而可求ｔ的值．
②由于当点C与点E重合时，CE=4，，因此，分和两种情况讨论．
（3）点的坐标为：（12，4），（8，4），（2，4）．理由如下：
如图1，当时，点的坐标为（12，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（12，，4）．
如图2，当点与点A重合时，点的坐标为（8，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（8，，4）．
如图3，当时，点的坐标为（2，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（2，，4）．

【详解】
解：（1）当ｔ=2时，OA=2，
∵点B（0，4），∴OB=4．
又∵∠BAC=900，AB=2AC，可证Rt△ABO∽Rt△CAF．
∴，CF=1．
（2）①当OA=ｔ时，∵Rt△ABO∽Rt△CAF，∴．
∴．
∵点C落在线段CD上，∴Rt△CDD∽Rt△BOD．
∴，整理得．
解得（舍去）．
∴当时，点C落在线段CD上．
②当点C与点E重合时，CE=4，可得．
∴当时，；
当时，．
综上所述，S与ｔ之间的函数关系式为．
（3）点的坐标为：（12，4），（8，4），（2，4）．
33．（1）E（2，3）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；
（2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CE，即可得出结论；
（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论．
【详解】
（1）∵OA=3，OB=4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，），
∵F在反比例y=函数图象上，
∴k=4×=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵E点的坐标为3，
∴E（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，
∴F（4，），
∴CF=BC﹣BF=3﹣=
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE=AC﹣AE=4﹣=，
在Rt△CEF中，tan∠EFC=，
（3）如图，由（2）知，CF=，CE=，，
过点E作EH⊥OB于H，

∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，
∴，
∴BG=，
在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，
∴（）2﹣（）2=，
∴k=，
∴反比例函数解析式为y=．
点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键．
34．(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)点或．
【解析】
【分析】
（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，
则，则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：(舍去负值)，
故点
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点；
综上，点或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
35．（1）证明见解析（2）4
【解析】
（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF．∴∠FDC=∠EBC．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC．∴∠FDC=∠EBE．
又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC．
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF．∴BD=BF，
∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG．
∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF．
∵BD=BF，∴DF=2DG．
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴． ∴BG×EG=DG×DG=4．∴DG=2
∴BE=DF=2DG=4．
（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可．
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案
36．解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）。
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：。
∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1。
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=。
∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1。
（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°。
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴。
∴点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，
∴点E的坐标为（4，1）。
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，

则F（2，1）。
∴ME=CM=QM=2。
∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形。
∴∠QEC=∠QCE=45°。
又∵△OCD为等腰直角三角形，
∴∠ODC=∠OCD=45°。
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°。∴△CEQ∽△CDO。
（4）存在。
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度。
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′。
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长。）
如答图③所示，连接C′E，

∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形。
∴△CEC′为等腰直角三角形。
∴点C′的坐标为（4，5）。
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）。
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：
。
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为。
【解析】（1）利用待定系数法求出直线解析式。
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形。
（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度。
利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小。
如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值。
37．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【解析】
【分析】
（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得AO′的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，然后分为△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB两种情况求解即可．
【详解】
（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）.
将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．

∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．
O′A的方程为y=
P点满足解得：
所以P ( ,)
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3，B（3，0），
∴CD=，BC=3，DB=2．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴．
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．

∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想．
38．（1）①B（1,0）②（2）4,P（－2，3）;（3）存在M1（0，2）,M2（－3,2）, M3（2，－3）,M4（5，－18）, 使得以点 A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】
试题分析：（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
试题解析：（1）①y=x+2
当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=﹣4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2．
（2）设P（m，-m2-m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，m+2），
∴PQ=-m2-m+2﹣（m+2）
=-m2﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．
（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：

①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
③ 根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
④ 当点M在第四象限时，设M（n，-n2-n+2），则N（n，0）
∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4
当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=2
∴M（2，﹣3）；
当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=5，
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
考点：二次函数综合题
39．（1）B（-6，,12）
（2）y=-x+4
【解析】
【分析】
（1）如图所示，构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标．
（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．如图所示，证明△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而应用待定系数法求出直线DE的解析式．
【详解】
解：（1）过点B作BF轴于F，

在中，∠BCO=45°，BC=，
∴CF=BF=12．
∵点C的坐标为（－18，0），∴AB=OF=18－12=6．
∴点B的坐标为（-6，12）．
（2）过点D作DG轴于点G，
∵AB∥DG，，
∴．
．
∵AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8．
∴．
设直线DE的解析式为，将代入，得
，解得．
∴直线DE解析式为．
40．（1）23；（2）【画一画】画图见解析；【算一算】DB′ =3；【验一验】小明的判断不正确，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质可得AD∥BC，从而可得∠ADB=∠DBC=46°，再根据翻折的性质即可求得∠DBE的度数；
（2）画一画：连接CE并延长交BA的延长线与点G，利用尺规作图画出∠BGC的角平分线即可得抓痕MN；
算一算：由已知可得GD=，根据矩形的性质及翻折的性质可得∠DFG=∠DGF，从而可得DF=DG=，在Rt△CDF中，根据勾股定理可求得CF=，根据BF=BC﹣CF求得BF的长，再根据翻折的性质继而可求得DB′的长即可；
验一验：如图4中，小明的判断不正确，连接ID，根据勾股定理求出CK长，根据已知可证明△CDK∽△IB′C，从而可得，设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，根据折叠的性质可求得k=1，继而可得IC=5，IB′=4，B′C=3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=，连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=，从而知tan∠B′IC≠tan∠DIC，判断出B′I所在的直线不经过点D即可得.
【详解】
（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=46°，
由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，
故答案为：23；
（2）画一画：如图2中，

算一算：如图3中，

∵AG=，AD=9，
∴GD=9﹣=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGF=∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG=，
∵CD=AB=4，∠C=90°，
∴在Rt△CDF中，CF==，
∴BF=BC﹣CF=，
由翻折不变性可知，FB=FB′=，
∴DB′=DF﹣FB′=﹣=3；
验一验：如图4中，小明的判断不正确，

理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4，
∴CK==5，
∵AD∥BC，
∴∠DKC=∠ICK，
由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，
∴∠IB′C=90°=∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴，即，
设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，
由折叠可知，IB=IB′=4k，
∴BC=BI+IC=4k+5k=9，
∴k=1，
∴IC=5，IB′=4，B′C=3，
在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=，
连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=，
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，
∴B′I所在的直线不经过点D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、角平分线的作法、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关性质与定理、运用数形结合思想进行解题是关键.
41．详见解析
【解析】
【分析】
（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明．
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积．
（3）本问是运动型问题，弄清矩形EFPQ的运动过程：
当0≤t≤2时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；
当2＜t≤4时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形．
【详解】
解：（1）证明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC．
∴△AHF∽△ADC，∴．
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴.
∴．
（2）∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴．
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴．
∴，即，∴EH=4HF．
已知EF=x，则EH=．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣．
，
∴当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．
（3）由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为．
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H1，D1，此时DD1=t，H1D1=2，
∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t．
∵KN∥EF，∴，即．
解得．
．
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示，

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D2．此时DD2=t，AD2=AD﹣DD2=4﹣t．
∵KN∥EF，∴，即．
解得．
．
综上所述，S与t的函数关系式为：．
42．（1）点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）2秒或4秒；（3）当t=4时，S的最大值为：16.
【解析】
【分析】
（1）根据直线与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出，据此可以求得点P的运动速度.
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可.
（3）根据（2）中所求得出S与t的函数关系式，从而利用二次函数性质求出即可.
【详解】
解：（1）∵直线与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4；y=0时，x=8．
∴BO=4，AO=8．
∴.
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，
∴△ABO∽△AEP.
∴，即.
∴AP=2t
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度.
（2）∵当OP=OQ时，PE与QF重合，此时t=，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜,即点P在点Q右侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形， 

∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8－t－2t=8－3t.
∴8－3t=t.
解得：t=2
如图2，当＜t≤4，即点P在点Q左侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t
∴OP=8－2t

∴
∴
解得：t=4.
∴当t为2秒或4秒时，矩形PEFQ为正方形.
（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜时，Q在P点的左边
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴．
∴当t=时，S的最大值为，
如图2，当＜t≤4时，Q在P点的右边，
∵OQ=t，PA=2t，∴.
∴.
∵当＜t≤4时，S随t的增大而增大，
∴t=4时，S的最大值为：3×42﹣8×4=16.
综上所述，当t=4时，S的最大值为：16.
【点睛】
本题考查一次函数的综合，相似三角形性质，二次函数最值.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键.
43．（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．
【解析】
【分析】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S有最大值
∴当x=40时，S最大=2400（mm2） 此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．
考点：三角形相似的应用
44．（1）24cm2;（2）（）或（）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
【详解】
（1）如图1，当秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2

由
=
（2）①如图(甲)，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时


即（）
②如图2，当点F追上点G时，，解得．

当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动．
此时CF=．CG=．
FG=CG-CF=

即（）
（3）如图(甲)，当点F在矩形的边BC上移动时，．
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°．
①若．即，解得．
又满足，所以当时，△EBF∽△FCG．
②若．即，解得．
又满足，所以当时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
45．（1）；（2）①，当m=5时，S取最大值；②满足条件的点F共有四个，坐标分别为，，，，
【解析】
【分析】
（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
【详解】
解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；
（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC= =10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB = = =，
∴ =，
∴QE=（10﹣m），
∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；
②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，
∴当m=5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（，8），
当∠FQD=90°时，则F2（，4），
当∠DFQ=90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，
解得：n=6± ，
∴F3（，6+），F4（，6﹣），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

【点睛】
本题考查二次函数的综合应用能力，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．