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    中考数学专项练习:18.锐角三角函数
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    中考数学专项练习:18.锐角三角函数

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    中考数学专项练习:18.锐角三角函数

    锐角三角函数
    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________


    一、单选题
    1.的值等于( )
    A.1 B. C. D.2
    2.的值等于( )
    A. B. C.1 D.
    3.tan60°的值等于
    A.1 B. C. D.2
    4.的值等于( )
    A.1 B. C. D.2
    5.sin60°的值为(  )
    A. B. C. D.
    6.的值等于( )
    A. B. C. D.
    7.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于(  )

    A. B. C.2 D.
    8.如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为(  )

    A. B.1 C. D.
    9.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都是,的顶点都在这些小正方形的顶点上,则的值为( )

    A. B. C. D.
    10.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是( )

    A.12 B.24 C.12 D.16


    二、填空题
    11.在直角三角形ABC中,若,则_______.
    12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE=_____.

    13.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AE=5cm, 且tan∠EFC=,那么矩形ABCD的周长_____________cm.

    14.△ABC中,∠C=90°,AB=8,cosA=,则BC的长 .
    15.如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置,B'C′与CD相交于点M,则点M的坐标为_____.


    三、解答题
    16.知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动,车到达A地后,发现C地恰好在A地的正北方向,且距离A地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地,求B、C两地的距离.(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈)

    17.南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向海里的C处,为了防止某国还巡警干扰,就请求我A处的鱼监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.

    18.如图,甲楼AB的高度为123m,自甲楼楼顶A处,测得乙楼顶端C处的仰角为450,测得乙楼底部D处的俯角为300,求乙楼CD的高度(结果精确到0.1m,取1.73).

    19.“C919”大型客机首飞成功,激发了同学们对航空科技的兴趣,如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE,请根据图中数据,求出线段BE和CD的长.(sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,结果保留小数点后一位)

    20.如图,海面上一艘船由西向东航行,在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为,再向东继续航行到达处,测得该灯塔的最高点的仰角为.根据测得的数据,计算这座灯塔的高度(结果取整数).参考数据:,,.

    21.如图,甲、乙两座建筑物的水平距离为,从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为,测得底部处的俯角为,求甲、乙建筑物的高度和(结果取整数).参考数据:,.

    22.小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=65m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)

    23.随着航母编队的成立,我国海军日益强大,2018年4月12日,中央军委在南海海域降重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图,我军巡逻舰在某海域航行到A处时,该舰在观测点P的南偏东45°的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后,到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处,问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里?(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到1海里).

    24.南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在C处成功拦截不明船只,问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?
    (参考数据:cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732,=1.732,=1.414)

    25.如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上,测得旗杆顶端M仰角为45°;小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m,用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆MN的高度.(参考数据:,结果保留整数.)

    26.如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60°,CD⊥AB与点E,E、B、A在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留整数,≈1.7,≈1.4 )

    27.如图,某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A、B、C在同一条直线上,小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°,观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m,EC=21m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数后一位).(参考数据:tan47°≈1.07,tan42°≈0.90)

    28.如图,某建筑物AC顶部有一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上,小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°,然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,已知建筑物的高度AC=12m,求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米).参考数据:≈1.73,≈1.41.

    29.如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A、B(不计大小),树干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.(结果精确到1米)(参考数据:,

    30.如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)

    31.如图,一艘海轮位于灯塔的北偏东方向,距离灯塔120海里的处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔的南偏东方向上的处,求和的长(结果取整数).
    参考数据:,取.
    32.小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB,如图,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位)
    参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,取1.414.

    33.(2016四川省资阳市)如图,“中国海监50”正在南海海域A处巡逻,岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上,岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上,已知点C在点B的北偏西60°方向上,且B、C两地相距120海里.
    (1)求出此时点A到岛礁C的距离;
    (2)若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去,当到达点A′时,测得点B在A′的南偏东75°的方向上,求此时“中国海监50”的航行距离.(注:结果保留根号)

    34.如图,禁止捕鱼期间,某海上稽查队在某海域巡逻,上午某一时刻在A处接到指挥部通知,在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船,正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行,稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发,在C处成功拦截捕鱼船,求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.

    35.如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)

    36.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上)。请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m)。(参考数据:≈1.414,≈1.732)

    37.为了测量某山(如图所示)的高度,甲在山顶A测得C处的俯角为45°,D处的俯角为30°,乙在山下测得C,D之间的距离为400米.已知B,C,D在同一水平面的同一直线上,求山高AB.(可能用到的数据:1.414,11.732)

    38.为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理,如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.
    (1)求∠APB的度数;
    (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?

    39.如图,聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度,他首先量出窗口A到地面的距离(AB)为16m,又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°,看建筑物顶部D的仰角β为53°,且AB,CD都与地面垂直,点A,B,C,D在同一平面内.

    (1)求AB与CD之间的距离(结果保留根号).
    (2)求建筑物CD的高度(结果精确到1m).(参考数据:,,,)
    40.如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知C点周围200米范围内为原始森林保护区,在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上,从A向东走600米到达B处,测得C在点B的北偏西60°方向上.
    (1)MN是否穿过原始森林保护区,为什么?(参考数据:≈1.732)
    (2)若修路工程顺利进行,要使修路工程比原计划提前5天完成,需将原定的工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要多少天?

    41.如图,线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高,BA⊥AD,CD⊥DA,垂足分别为A、D.从D点测到B点的仰角α为60°,从C点测得B点的仰角β为30°,甲建筑物的高AB=30米
    (1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD.
    (2)求乙建筑物的高CD.

    42.某地为打造宜游环境,对旅游道路进行改造.如图是风景秀美的观景山,从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道,为方便游客登顶观景,欲从D到A修建电动扶梯,经测量,山高AC=154米,步行道BD=168米,∠DBC=30°,在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号).

    43.如图,A为某旅游景区的最佳观景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处,返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,BC=110米,DE=9米,BD=60米,α=32°,β=68°,求AC的高度.(参考数据:sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48)

    44.两栋居民楼之间的距离,楼和均为10层,每层楼高为.上午某时刻,太阳光线与水平面的夹角为30°,此刻楼的影子会遮挡到楼的第几层?(参考数据:,)

    45.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示,部分),在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为,底端点的仰角为,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处,测得顶端的仰角为(如图②所示),求大楼部分楼体的高度约为多少米?(精确到1米)(参考数据:,,,,)

    46.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东方向,且与航母相距80海里再航行一段时间后到达处,测得小岛位于它的西北方向,求此时航母与小岛的距离的长.

    47.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)

    48.如图,某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角为,此时教学楼顶端G恰好在视线FH上,再向前走10米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角为,点A、B、C三点在同一水平线上.

    (1)求古树BH的高;(2)求教学楼CG的高.(参考数据:)
    49.如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22º时,
    教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45º时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上).

    (1)求教学楼AB的高度;
    (2)学校要在A、E之间挂一些彩旗,请你求出A、E之间的距离(结果保留整数).
    (参考数据:sin22º≈,cos22º≈,tan22º≈)
    50.如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=120°,BD=520m,∠D=30°.那么另一边开挖点E离D多远正好使A,C,E三点在一直线上(取1.732,结果取整数)?

    51.高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音。如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的点处有一消防队。在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶。试问:消防车是否需要改道行驶?说明理由.(取1.732)


    52.如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).

    53.校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道上确定点D,使CD与垂直,测得CD的长等于21米,在上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30,∠CBD=60.
    (1)求AB的长(精确到0.1米,参考数据:);
    (2)已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.

    54.如图所示,飞机在一定高度上沿水平直线飞行,先在点处测得正前方小岛的俯角为,面向小岛方向继续飞行到达处,发现小岛在其正后方,此时测得小岛的俯角为.如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行的高度(结果保留根号).
    55.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中,小林在南滨河路上的A,B两点处,利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=132米,求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)

    56.如图,为了测得某建筑物的高度,在C处用高为1米的测角仪,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度.(结果保留根号)

    57.如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).

    58.(2017湖北省鄂州市)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B、C、D三点在同一直线上.
    (1)求树DE的高度;
    (2)求食堂MN的高度.

    59.小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图,他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为,沿山坡向上走25m到达D处,测得古塔顶端M的仰角为.已知山坡坡度,即,请你帮助小明计算古塔的高度ME.(结果精确到0.1m,参考数据:)

    60.如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°,顶部的仰角为37°,已知教学楼和实验楼在同一平面上,观测点距地面的垂直高度AB为15m,求实验楼的垂直高度即CD长(精确到1m).
    参考值:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75.

    61.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)

    (1)求点B距水平面AE的高度BH;
    (2)求广告牌CD的高度.
    (测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:1.414,1.732)
    62.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据:sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)
    (1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)
    (2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.

    63.科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.

    64.如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的高度.(取=1.732,结果精确到1m)

    65.小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D,并在点D处安装了测量器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°;再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5米,并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿着BG方向移动,当移动带点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2米,小明眼睛与地面的距离EF=1.6米,测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均垂直于FB,求这棵古树的高度AB。(小平面镜的大小忽略不计)

    66.如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
    (1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
    (2)求斜坡CD的长度.

    67.如图,学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌,即.数学活动课上,小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离.测角仪支架高,小明在处测得标语牌底部点的仰角为,小红在处测得标语牌顶部点的仰角为,,依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长?若能,请计算;若不能,请说明理由(图中点,,,,,,在同一平面内)
    (参考数据:,,

    68.如图1是“东方之星”救援打捞现场图,小红据此构造出一个如图2所示的数学模型,已知:A、B、D三点在同一水平线上,CD⊥AD,∠A=30°,∠CBD=75°,AB=60m.

    (1)求点B到AC的距离;
    (2)求线段CD的长度.
    69.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?
    (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)

    70.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
    71.如图,在一次测量活动中,小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处,仰望旗杆顶端A,测得仰角为60°,眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米,).

    72.如图,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面处测得楼房顶部A的仰角为,沿坡面向下走到坡脚处,然后向楼房方向继续行走10米到达处,测得楼房顶部的仰角为.已知坡面米,山坡的坡度(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:,)

    73.如图,某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m,看台所在斜坡CM的坡比i=1:3,在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°,在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°,且B,M,D三点在同一水平线上,求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.41,=1.73)

    74.如图,我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行,船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向,船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点,此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向.请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近?


    参考答案
    1.A
    【解析】
    【分析】
    根据cos60°=进行计算即可得解
    【详解】
    2cos60°=2×=1.
    故选A
    2.B
    【解析】
    分析:根据特殊角的三角函数值直接求解即可.
    详解:cos30°=.
    故选:B.
    点睛:本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况.特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,要熟练掌握.
    3.C
    【解析】
    【详解】
    tan60°=.
    故选C.
    4.C
    【解析】
    【分析】
    根据特殊角的三角函数值计算即可.
    【详解】
    解:把sin45°=代入原式得:原式=2×=.
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查特殊角三角函数值的计算,特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,题型以选择题、填空题为主.
    5.B
    【解析】
    解:sin60°=.故选B.
    6.B
    【解析】
    试题分析:根据特殊角的三角函数值即可得=,故答案选B.
    考点:特殊角的三角函数值.
    7.D
    【解析】
    【分析】
    根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD,再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.
    【详解】
    ∵∠DAB=∠DEB,
    ∴tan∠DEB= tan∠DAB=,
    故选D.
    【点睛】
    本题考查了圆周角定理(同弧或等弧所对的圆周角相等)和正切的概念,正确得出相等的角是解题关键.
    8.B
    【解析】
    【分析】
    连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求.
    【详解】
    如图,连接BC,
    由网格可得AB=BC=,AC=,即AB2+BC2=AC2,
    ∴△ABC为等腰直角三角形,
    ∴∠BAC=45°,
    则tan∠BAC=1,
    故选B.

    【点睛】
    本题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
    9.D
    【解析】
    【分析】
    过作于,首先根据勾股定理求出,然后在中即可求出的值.
    【详解】
    如图,过作于,则,

    AC==5.

    故选D.
    【点睛】
    本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.
    10.D
    【解析】
    如图,连接BE,
    ∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∠EFB=60°,

    ∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-60°=120°,∠DEF=∠EFB=60°.
    ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,
    ∴∠BEF=∠DEF=60°.
    ∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°-60°=60°.
    在Rt△ABE中,AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2.
    ∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8.
    ∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16.故选D.
    考点:翻折变换(折叠问题),矩形的性质,平行的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值.
    11.或.
    【解析】
    【分析】
    对AC分两种情况讨论,根据三角函数即可得到答案.
    【详解】
    如图所示,分两种情况讨论,AC可以是直角边,也可以是斜边

    ①当AC是斜边,设AB=x,则AC=2x,由勾股定理可得:

    BC=x,则
    ②当AC是直角边,设AB=x,则AC=2x,由勾股定理可得:
    BC=x,则
    综上所述,或.
    【点睛】
    本题考查三角函数,解题的关键是对AC分情况讨论.
    12.
    【解析】
    【详解】
    ∵在Rt△ABC中,BC=6,sinA=
    ∴AB=10
    ∴.
    ∵D是AB的中点,∴AD=AB=5.
    ∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A
    ∴△ADE∽△ACB,


    解得:DE=.
    13.36.
    【解析】
    试题分析:∵△AFE和△ADE关于AE对称,∴∠AFE=∠D=90°,AF=AD,EF=DE.∵tan∠EFC==,∴可设EC=3x,CF=4x,那么EF=5x,∴DE=EF=5x.∴DC=DE+CE=3x+5x=8x.∴AB=DC=8x.
    ∵∠EFC+∠AFB=90°, ∠BAF+∠AFB=90°,∴∠EFC=∠BAF.∴tan∠BAF=tan∠EFC=,∴=.∴AB=8x,∴BF=6x.∴BC=BF+CF=10x.∴AD=10x.在Rt△ADE中,由勾股定理,得AD2+DE2=AE2.∴(10x)2+(5x)2=(5)2.解得x=1.∴AB=8x=8,AD=10x=10.∴矩形ABCD的周长=8×2+10×2=36.
    考点:折叠的性质;矩形的性质;锐角三角函数;勾股定理.
    14..
    【解析】
    【详解】
    首先利用余弦函数的定义求得AC的长,然后利用勾股定理即可求得BC的长:

    ∵△ABC中,∠C=90°,AB=8,, ∴.
    ∴.
    故答案为
    15.(﹣1,)
    【解析】
    【分析】
    连接AM,由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°,证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°,由DM=AD•tan∠DAM可得答案.
    【详解】
    如图,连接AM,

    ∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′,
    ∴AD=AB′=1,∠BAB′=30°,
    ∴∠B′AD=60°,
    在Rt△ADM和Rt△AB′M中,

    ∴Rt△ADM≌Rt△AB′M(HL),
    ∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°,
    ∴DM=AD•tan∠DAM=1×=,
    ∴点M的坐标为(﹣1,),
    故答案为(﹣1,).
    【点睛】
    本题主要考查旋转的性质、正方形的性质,解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用.
    16.(20-5)千米.
    【解析】
    分析:作BD⊥AC,设AD=x,在Rt△ABD中求得BD=x,在Rt△BCD中求得CD=x,由AC=AD+CD建立关于x的方程,解之求得x的值,最后由BC=可得答案.
    详解:过点B作BD⊥ AC,

    依题可得:∠BAD=60°,∠CBE=37°,AC=13(千米),
    ∵BD⊥AC,
    ∴∠ABD=30°,∠CBD=53°,
    在Rt△ABD中,设AD=x,
    ∴tan∠ABD=
    即tan30°=,
    ∴BD=x,
    在Rt△DCB中,
    ∴tan∠CBD=
    即tan53°=,
    ∴CD=
    ∵CD+AD=AC,
    ∴x+=13,解得,x=
    ∴BD=12-,
    在Rt△BDC中,
    ∴cos∠CBD=tan60°=,
    即:BC=(千米),
    故B、C两地的距离为(20-5)千米.
    点睛:此题考查了方向角问题.此题难度适中,解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识,利用三角函数的知识求解.
    17..
    【解析】
    试题分析:作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识,可得出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可得出方程,解出x的值后即可得出答案.
    试题解析:如图,作AD⊥BC,垂足为D,

    由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°.
    设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,
    在Rt△ABD中,可得BD=,
    又∵BC=20(1+),CD+BD=BC,
    即x+=20(1+),
    解得:x=20,
    ∴AC=x=20(海里).
    答:A、C之间的距离为20海里.
    【点睛】此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,将实际问题转化为数学模型进行求解,难度一般.
    18.335.8m
    【解析】
    【分析】
    首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
    【详解】
    解:如图,过点A作AE⊥CD于点E,

    根据题意,∠CAE=45°,∠DAE=30°.
    ∵AB⊥BD,CD⊥BD,
    ∴四边形ABDE为矩形.
    ∴DE=AB=123.
    在Rt△ADE中,,
    ∴.
    在Rt△ACE中,由∠CAE=45°,得CE=AE=.
    ∴CD=CE+DE=≈335.8.
    答:乙楼CD的高度约为335.8m.
    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的实际应用,依据题意标出角是解题的关键.
    19.线段BE的长约等于18.8cm,线段CD的长约等于10.8cm.
    【解析】
    试题分析:在Rt△BED中可先求得BE的长,过C作CF⊥AE于点F,则可求得AF的长,从而可求得EF的长,即可求得CD的长.
    试题解析:∵BN∥ED,
    ∴∠NBD=∠BDE=37°,
    ∵AE⊥DE,
    ∴∠E=90°,
    ∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75(cm),
    如图,过C作AE的垂线,垂足为F,

    ∵∠FCA=∠CAM=45°,
    ∴AF=FC=25cm,
    ∵CD∥AE,
    ∴四边形CDEF为矩形,
    ∴CD=EF,
    ∵AE=AB+EB=35.75(cm),
    ∴CD=EF=AE-AF≈10.8(cm),
    答:线段BE的长约等于18.8cm,线段CD的长约等于10.8cm.
    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
    20.这座灯塔的高度约为45m.
    【解析】
    【分析】
    在Rt△ADC和Rt△BDC中,根据三角函数AD、BD就可以用CD表示出来,再根据就得到一个关于DC的方程,解方程即可.
    【详解】
    解:如图,根据题意,,,,.
    ∵在中,,
    ∴.
    ∵在中,,
    ∴.
    又,
    ∴.
    ∴.
    答:这座灯塔的高度约为45m.

    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的应用-----方向角的问题,列出关于CD的方程是解答本题的关键,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.
    21.甲建筑物的高度约为,乙建筑物的高度约为.
    【解析】
    分析:首先分析图形:根据题意构造直角三角形;本题涉及两个直角三角形,应利用其公共边构造关系式,进而可求出答案.
    详解:如图,过点作,垂足为.

    则.
    由题意可知,,,,,.
    可得四边形为矩形.
    ∴,.
    在中,,
    ∴.
    在中,,
    ∴.
    ∴ .
    ∴.
    答:甲建筑物的高度约为,乙建筑物的高度约为.
    点睛:本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题,首先构造直角三角形,再借助角边关系、三角函数的定义解题,难度一般.
    22.标语牌CD的长为6.3m.
    【解析】
    分析:如图作AE⊥BD于E.分别求出BE、DE,可得BD的长,再根据CD=BD-BC计算即可;
    详解:如图作AE⊥BD于E.

    在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,
    ∴BE=AB=5(m),AE=5(m),
    在Rt△ADE中,DE=AE•tan42°=7.79(m),
    ∴BD=DE+BE=12.79(m),
    ∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3(m),
    答:标语牌CD的长为6.3m.
    点睛:本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题.
    23.PB约为566每里
    【解析】
    【详解】
    分析:通过勾股定理得到线段PC的长度,然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可.
    详解:在中, 则
    ∵AP=400海里,
    ∴由勾股定理知, 即4002=2PC2,
    故海里.
    又∵在直角△BPC中,∠PCB=90°,∠BPC=60°,
    ∴(海里).
    答:此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里.
    点睛:本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用.此题是一道方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.
    24.海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里.
    【解析】
    试题分析:过B作BD⊥AC,在RtABD中,利用勾股定理求出BD与AD的长,在RtBCD中,求出CD的长,再由AD+DC求出AC的长即可.
    试题解析:解:过B作BD⊥AC,
    ∵∠BAC=75°﹣30°=45°,
    ∴在Rt△ABD中,∠BAD=∠ABD=45°,∠ADB=90°,
    由勾股定理得:BD=AD=×20=10(海里),
    在Rt△BCD中,∠C=25°,∠CBD=75°,
    ∴tan∠CBD=,即CD=10×3.732=52.77048,
    则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67(海里),即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里.

    考点:解直角三角形的应用.
    25.旗杆高约为11米.
    【解析】
    【分析】
    过点A作AE⊥MN于E,过点C作CF⊥MN于F,则EF=0.2m.由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME,设AE=ME=xm,则MF=(x+0.2)m,FC=(28-x)m.在Rt△MFC中,由MF=CF•tan∠MCF,解方程求出x的值,则MN=ME+EN.
    【详解】
    过点A作AE⊥MN于E,

    过点C作CF⊥MN于F
    则EF==0.2
    在Rt△AEM中,
    ∵∠MAE=45°,∴AE=ME
    设AE=ME= (不设参数也可)
    ∴MF=+0.2,CF=28
    在Rt△MFC中,∠MFC=90°,∠MCF=30°
    ∴MF=CF·tan∠MCF

    解得x≈9.7,
    ∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米.
    答:旗杆MN的高度约为11米.
    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的问题.该题是一个比较常规的解直角三角形问题,建立模型比较简单,但求解过程中涉及到根式和小数,算起来麻烦一些.
    26.约为5米.
    【解析】
    试题分析:利用30°的正切值即可求得AE长,进而可求得CE长.CE减去DE长即为信号塔CD的高度.
    试题解析:根据题意得:AB=18,DE=18,∠A=30°,∠EBC=60°,
    在Rt△ADE中,AE=
    ∴BE=AE-AB=18-18,
    在Rt△BCE中,CE=BE•tan60°=(18-18)=54-18,
    ∴CD=CE-DE=54-18-18≈5米.
    考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
    27.旗杆AB的高度约是3.6m,建筑物BC的高度约是20.5m.
    【解析】
    试题分析:过点D作DF⊥AC,垂足为F,可得四边形DECF为矩形,即可得DF=EC=21,FC=DE=1.56.在Rt△DFA中,根据tan∠ADF=可求AF的长,在Rt△DFB中,根据tan∠BDF=可求BF的长,再由AB=AF-BF,BC=BF+FC即可求得旗杆AB的高度和建筑物BC的高度.
    试题解析:

    解:如图,根据题意,DE=1.56,EC="21," ∠ACE=90°, ∠DEC=90°.
    过点D作DF⊥AC,垂足为F.
    则∠DFC=90°, ∠ADF=47°, ∠BFD=42°.
    可得四边形DECF为矩形.
    ∴DF=EC=21,FC=DE=1.56.
    在Rt△DFA中,tan∠ADF=.
    ∴AF=DF·tan47°≈21×1.07=22.47.
    在Rt△DFB中,tan∠BDF=.
    ∴BF=DF·tan42°≈21×0.90=18.90.
    于是,AB=AF-BF=22.47-18.90=3.57≈3.6,
    BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5.
    答:旗杆AB的高度约为3.6m,建筑物BC的高度约为20.5m.
    考点:矩形的判定及性质;解直角三角形.
    28.约是5.3米.
    【解析】
    试题分析:由条件可知BE=DE=20米,再在Rt△BCE中,利用三角函数可求得BC的长,进而可求得AB的长.
    试题解析:∵∠BEC=∠BDE+∠DBE,∴∠DBE=∠BEC-∠BDC=60°-30°=30°,∴∠BDE=∠DBE,∴BE=DE=20米.在Rt△BCE中,∠BCE=90°,sin∠BEC=,∴(米),∴AB=BC-AC=17.3-12=5.3(米).答:旗杆AB的高度为5.3米.
    考点:1解直角三角形;2 三角形的外角;3等角对等边.
    29.解:设OC=x,
    在Rt△AOC中,∵∠ACO=45°,∴OA=OC=x.
    在Rt△BOC中,∵∠BCO=30°,∴.
    ∵AB=OA﹣OB=,解得.
    ∴OC=5米.
    答:C处到树干DO的距离CO为5米.
    【解析】
    解直角三角形的应用(仰角俯角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值.
    【分析】设OC=x,在Rt△AOC中,由于∠ACO=45°,故OA=x,在Rt△BOC中,由于∠BCO=30°,故,再根据AB=OA-OB=2即可得出结论.
    30.电线杆的高度为(2+4)米
    【解析】
    试题分析:延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长,根据正切的定义求出EF,得到BE的长,根据正切的定义解答即可.
    试题解析:延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,
    ∵∠BCD=150°,
    ∴∠DCF=30°,又CD=4,
    ∴DF=2,CF==2,
    由题意得∠E=30°,
    ∴EF==2,
    ∴BE=BC+CF+EF=6+4,
    ∴AB=BE×tanE=(6+4)×=(2+4)米,
    答:电线杆的高度为(2+4)米.

    考点:解直角三角形的应用.
    31.BP=153;BA=161.
    【解析】
    试题分析:如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,由题意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120,在Rt△APC中,求得PC、AC的长;在Rt△BPC中,求得BP、BC的长,即可得BA的长.
    试题解析:如图,过点P作PCAB,垂足为C,
    由题意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120,
    在Rt△APC中,sin∠A=,
    ∴PC=PA·sin∠A=120×sin64°,
    AC=PA×cos∠A=120×cos64°,
    在Rt△BPC中,sin∠B=,
    ∴BP=
    BC=
    ∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161.
    答:BP的长约有153海里,BA的长约有161海里.

    32.AC=38.2m;CB=45.0m.
    【解析】
    试题分析:根据锐角三角函数,可用CD表示AD,BD,AC,BC,根据线段的和差,可得关于CD的方程,根据解方程,可得CD的长,根据AC=CD,CB=,可得答案.
    试题解析:过点C作CD⊥AB垂足为D, 在Rt△ACD中,tanA=tan45°==1,CD=AD,
    sinA=sin45°=,AC=. 在Rt△BCD中,tanB=tan37°=≈0.75,BD=;
    sinB=sin37°=≈0.60,CB=. ∵AD+BD=AB=63, ∴CD+=63, 解得CD≈27,
    AC=≈1.414×27=38.178≈38.2, CB==45.0,
    答:AC的长约为38.2cm,CB的长约等于45.0m
    考点:解直角三角形的应用

    33.(1);(2).
    【解析】
    试题分析:(1)根据题意得出:∠CBD=30°,BC=120海里,再利用cos30°=,进而求出答案;
    (2)根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上,则A′B平分∠CBA,进而得出等式求出答案.
    试题解析:(1)如图所示:延长BA,过点C作CD⊥BA延长线与点D,由题意可得:∠CBD=30°,BC=120海里,则DC=60海里,故cos30°===,解得:AC=.
    答:点A到岛礁C的距离为海里;
    (2)如图所示:过点A′作A′N⊥BC于点N,可得∠1=30°,∠BA′A=45°,A′N=A′E,则∠2=15°,即A′B平分∠CBA,设AA′=x,则A′E=x,故CA′=2A′N=2×x=x,∵,∴解得:x=.
    答:此时“中国海监50”的航行距离为海里.

    考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
    34.2小时.
    【解析】
    试题分析:由题意可知∠ABC=120°,设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时.则,,建立直角三角形,过点作的延长线于点,∠ABD=60°,,可求得,在中,利用勾股定理即可求出x.
    试题解析:设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时.如图1所示,由题得,,,,过点作的延长线于点,在中,,∴.∴.在中,由勾股定理得:,解此方程得(不合题意舍去).所以巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时.

    考点:1.解直角三角形的实际应用;2.方向角问题.
    35.A处与灯塔B相距109海里.
    【解析】
    【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM,CM的长,再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案.
    【详解】过点C作CM⊥AB,垂足为M,
    在Rt△ACM中,∠MAC=90°﹣45°=45°,则∠MCA=45°,
    ∴AM=MC,
    由勾股定理得:AM2+MC2=AC2=(20×2)2,
    解得:AM=CM=40,
    ∵∠ECB=15°,
    ∴∠BCF=90°﹣15°=75°,
    ∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°,
    在Rt△BCM中,tanB=tan30°=,即,
    ∴BM=40,
    ∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109(海里),
    答:A处与灯塔B相距109海里.

    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
    36.这棵树CD的高度为8.7米
    【解析】
    试题分析:首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数,得到BC的长度,然后在直角△BDC中,利用三角函数即可求解.
    试题解析:∵∠CBD=∠A+∠ACB,
    ∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°,
    ∴∠A=∠ACB,
    ∴BC=AB=10(米).
    在直角△BCD中,CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7(米).
    答:这棵树CD的高度为8.7米.
    考点:解直角三角形的应用

    37.山高AB为546.4米
    【解析】
    【分析】
    设AB=x,然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案.
    【详解】
    设AB=x,
    由题意可知:∠ACB=45°,∠ADB=30°,
    ∴AB=BC=x,
    ∴BD=BC+CD=x+400,
    在Rt△ADB中,
    ∴,
    ∴,
    解得:.
    ∴山高AB为546.4米.
    【点睛】
    本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法,本题属于中等题型.
    38.(1)30°;(2)海监船继续向正东方向航行是安全的.
    【解析】
    试题分析:(1)根据直角的性质和三角形的内角和求解;
    (2)过点P作PH⊥AB于点H,根据解直角三角形,求出点P到AB的距离,然后比较即可.
    试题解析:(1)在△APB中,∠PAB=30°,∠ABP=120°
    ∴∠APB=180°-30°-120°=30°
    (2)只需算出航线上与P点最近距离为多少即可
    过点P作PH⊥AB于点H
    在Rt△APH中,∠PAH=30°,AH=PH
    在Rt△BPH中,∠PBH=30°,BH=PH
    ∴AB=AH-BH=PH=50
    算出PH=25>25,不会进入暗礁区,继续航行仍然安全.
    考点:解直角三角形
    39.(1);(2)51m
    【解析】
    【分析】
    (1)作于M,根据矩形的性质得到,,根据正切的定义求出AM;
    (2)根据正切的定义求出DM,结合图形计算,得到答案.
    【详解】
    解:(1)作于M,
    则四边形ABCM为矩形,
    ,,
    在中,,
    则,
    答:AB与CD之间的距离;
    (2)在中,,
    则,

    答:建筑物CD的高度约为51m.

    【点睛】
    本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
    40.(1)不会穿过森林保护区.理由见解析;(2)原计划完成这项工程需要25天.
    【解析】
    试题分析:(1)要求MN是否穿过原始森林保护区,也就是求C到MN的距离.要构造直角三角形,再解直角三角形;
    (2)根据题意列方程求解.
    试题解析:(1)如图,过C作CH⊥AB于H,
    设CH=x,由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°
    则∠CAH=45°, ∠CBA=30°,在RT△ACH中,AH=CH=x,在RT△HBC中, tan∠HBC=
    ∴HB===x,
    ∵AH+HB=AB
    ∴x+x=600解得x≈220(米)>200(米).∴MN不会穿过森林保护区.

    (2)设原计划完成这项工程需要y天,则实际完成工程需要y-5
    根据题意得:=(1+25%)×,解得:y=25知:y=25的根.
    答:原计划完成这项工程需要25天.
    41.(1);(2)20.
    【解析】
    【分析】
    (1)在Rt△ABD中利用三角函数即可求解;
    (2)作CE⊥AB于点E,在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长,然后根据CD=AE=AB﹣BE求解.
    【详解】
    (1)作CE⊥AB于点E,在Rt△ABD中,AD===(米);
    (2)在Rt△BCE中,CE=AD=米,BE=CE•tanβ=×=10(米),则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=20(米)
    答:乙建筑物的高度DC为20m.

    42.电动扶梯DA的长为70米.
    【解析】
    【分析】
    作DE⊥BC于E,根据矩形的性质得到FC=DE,DF=EC,根据直角三角形的性质求出FC,得到AF的长,根据正弦的定义计算即可.
    【详解】
    作DE⊥BC于E,
    则四边形DECF为矩形,
    ∴FC=DE,DF=EC,
    在Rt△DBE中,∠DBC=30°,
    ∴DEBD=84,
    ∴FC=DE=84,
    ∴AF=AC﹣FC=154﹣84=70,
    在Rt△ADF中,∠ADF=45°,
    ∴ADAF=70(米),
    答:电动扶梯DA的长为70米.

    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
    43.155.8.
    【解析】
    试题分析:先求出DF的长,得到CG的长,再求出AG的长,求和得到答案.
    试题解析:∵cos∠DBF=,∴BF=60×0.85=51,FH=DE=9,∴EG=HC=110﹣51﹣9=50,∵tan∠AEG=,∴AG=50×2.48=124,∵sin∠DBF=,∴DF=60×0.53=31.8,∴CG=31.8,∴AC=AG+CG=124+31.8=155.8.

    考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
    44.此刻楼的影子会遮挡到楼的第5层.
    【解析】
    【分析】
    设太阳光线GB交AC于点F,过F作FH⊥BD于H,解Rt△BFH,求出BH≈17,那么FC=HD=BD-BH≈13,由,可得此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层.
    【详解】
    解:设太阳光线交于点,过作于,

    由题意知,,,,
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,所以在四层的上面,即第五层,
    答:此刻楼的影子会遮挡到楼的第5层.
    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的应用,平行投影,难度一般,解答本题的关键是利用直角三角形的性质和三角函数解答.
    45.大楼部分楼体的高度约为17米.
    【解析】
    【分析】
    设楼高CE为x米,于是得到BE=x-20,解直角三角形即可得到结论.
    【详解】
    设楼高为米.
    ∵在中,,
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    在中,,
    ∴.
    解得(米).
    在中,,
    ∴(米).
    答:大楼部分楼体的高度约为17米.
    【点睛】
    此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角,解本题的关键是利用三角函数解答.
    46.的距离是海里
    【解析】
    【分析】
    过点作于点,根据题意得到,,,解直角三角形即可得到结论.
    【详解】
    过点作于点,

    由题意,得:,,,
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    答:的距离是海里.
    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
    47.小时
    【解析】
    【分析】
    过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里,再解Rt△CBD中,得出BC=≈50,然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间.
    【详解】
    解:如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.
    在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80海里,
    ∴CD=AC=40海里.
    在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°﹣37°=53°,
    ∴BC=≈=50(海里),
    ∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为:50÷40=(小时).

    考点:解直角三角形的应用-方向角问题
    48.(1)古树BH的高为11.5米;(2)教学楼CG的高约为25米.
    【解析】
    【分析】
    (1)由知,据此得;
    (2)设米,则米,由知,据此得,解之求得x的值,代入计算可得.
    【详解】
    解:(1)在中,,


    ∴古树的高为11.5米;
    (2)在中,,

    设米,则米,
    在中,,


    解得:,

    答:教学楼CG的高约为25米.
    【点睛】
    本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
    六、拓展探索题
    49.(1)12m(2)27m
    【解析】
    【分析】
    (1)首先构造直角三角形△AEM,利用,求出即可.
    (2)利用Rt△AME中,,求出AE即可.
    【详解】
    解:(1)过点E作EM⊥AB,垂足为M.

    设AB为x.
    在Rt△ABF中,∠AFB=45°,
    ∴BF=AB=x,
    ∴BC=BF+FC=x+13.
    在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,
    又∵,∴,解得:x≈12.
    ∴教学楼的高12m.
    (2)由(1)可得ME=BC=x+13≈12+13=25.
    在Rt△AME中,,
    ∴AE=MEcos22°≈.
    ∴A、E之间的距离约为27m.
    50.450m.
    【解析】
    【分析】
    若要使A、C、E三点共线,则三角形BDE是以∠E为直角的三角形,利用三角函数即可解得DE的长.
    【详解】
    解:,,

    在中,,,


    答:另一边开挖点离,正好使,,三点在一直线上.
    【点睛】
    本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用,解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.
    51.不需要改道行驶
    【解析】解:过点A作AH⊥CF交CF于点H,由图可知,

    ∵∠ACH=750-150=600,
    ∴。
    ∵AH>100米,
    ∴消防车不需要改道行驶。
    过点A作AH⊥CF交CF于点H,应用三角函数求出AH的长,大于100米,不需要改道行驶,不大于100米,需要改道行驶。
    52.CE的长为(4+)米
    【解析】
    【分析】
    由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中,可求出CH,进而CD=CH+HD=CH+AB,再在Rt△CED中,求出CE的长.
    【详解】
    过点A作AH⊥CD,垂足为H,

    由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,
    ∴AB=DH=1.5,BD=AH=6,
    在Rt△ACH中,tan∠CAH=,
    ∴CH=AH•tan∠CAH,
    ∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×=2(米),
    ∵DH=1.5,
    ∴CD=2+1.5,
    在Rt△CDE中,
    ∵∠CED=60°,sin∠CED=,
    ∴CE==(4+)(米),
    答:拉线CE的长为(4+)米.
    考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题

    53.(1)24.2米(2) 超速,理由见解析
    【解析】
    【分析】
    (1)分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,从而求得AB的长.
    (2)由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速.
    【详解】
    解:(1)由題意得,
    在Rt△ADC中,,
    在Rt△BDC中,,
    ∴AB=AD-BD=(米).
    (2)∵汽车从A到B用时2秒,∴速度为24.2÷2=12.1(米/秒),
    ∵12.1米/秒=43.56千米/小时,∴该车速度为43.56千米/小时.
    ∵43.56千米/小时大于40千米/小时,
    ∴此校车在AB路段超速.
    54.
    【解析】
    【分析】
    过点C作CD⊥AB,由∠CBD=45°知BD=CD=x,由∠ACD=30°知AD==x,根据AD+BD=AB列方程求解可得.
    【详解】
    解:过点C作CD⊥AB于点D,

    设CD=x,
    ∵∠CBD=45°,
    ∴BD=CD=x,
    在Rt△ACD中,
    ∵,
    ∴AD====x,
    由AD+BD=AB可得x+x=10,
    解得:x=5﹣5,
    答:飞机飞行的高度为(5﹣5)km.
    55.观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米.
    【解析】
    【分析】
    过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,根据AE=DE,列出方程即可解决问题.
    【详解】
    过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,
    在Rt△DEB中,tan∠DBE=,
    ∵∠DBC=65°,
    ∴DE=xtan65°.
    又∵∠DAC=45°,
    ∴AE=DE.
    ∴132+x=xtan65°,
    ∴解得x≈115.8,
    ∴DE≈248(米).
    ∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米.

    56.该建筑物的高度为米.
    【解析】
    【分析】
    设米,根据等腰三角形的性质求出,利用正切的定义用x表示出,根据题意列方程,解方程得到答案.
    【详解】
    解:设米,
    在中,,
    ∴,
    在中,,
    则,
    由题意得,,即,
    解得,,
    ∴,
    答:该建筑物的高度为米.
    【点睛】
    本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
    57..
    【解析】
    【分析】
    如图作BN⊥CD于N,BM⊥AC于M,先在RT△BDN中求出线段BN,在RT△ABM中求出AM,再证明四边形CMBN是矩形,得CM=BN即可解决问题.
    【详解】
    如图作BN⊥CD于N,BM⊥AC于M.
    在RT△BDN中,
    BD=30,BN:ND=1:,
    ∴BN=15,DN=,
    ∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°,
    ∴四边形CMBN是矩形,
    ∴CM=BM=15,BM=CN=,
    在RT△ABM中,tan∠ABM=,
    ∴AM=,
    ∴AC=AM+CM=.

    【点睛】
    构造适当的直角三角形,并应用锐角的三角函数,正确理解坡比的概念.
    58.(1)6;(2).
    【解析】
    试题分析:(1)设DE=x,可得EF=DE﹣DF=x﹣2,从而得AF=(x﹣2),再求出CD=x、BC的长,根据AF=BD可得关于x的方程,解之可得;
    (2)延长NM交DB延长线于点P,知AM=BP=3,由(1)得CD=x=、BC=,根据NP=PD且AB=MP可得答案.
    试题解析:(1)如图,设DE=x,∵AB=DF=2,∴EF=DE﹣DF=x﹣2,∵∠EAF=30°,∴AF= =,又∵CD===x,BC===,∴BD=BC+CD=+x,由AF=BD可得(x﹣2)=+x,解得:x=6,∴树DE的高度为6米;
    (2)延长NM交DB延长线于点P,则AM=BP=3,由(1)知CD=x=×6=,BC=,∴PD=BP+BC+CD=3++=3+,∵∠NDP=45°,且MP=AB=2,∴NP=PD=3+,∴NM=NP﹣MP=3+﹣2=,∴食堂MN的高度为米.

    点睛:本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形.
    59.古塔的高度ME约为39.8m.
    【解析】
    【分析】
    作交EP的延长线于点C,作于点F,作于点H,先在Rt△DCP中利用已知条件利用勾股定理求出DC和PC的长,从而可得DH和EF的长,设,分别在Rt△MPE和Rt△MFD中根据60°和30°的三角函数用y的代数式表示出PE和DF,再根据PE、DF和DH的关系列出方程,解方程后即可求出结果.
    【详解】
    解:作交EP的延长线于点C,作于点F,作于点H,则,,,
    设,∵,∴,
    由勾股定理得,,即,解得,,
    则,,
    ∴,,
    设,则,
    在中,,则,
    在中,,则,
    ∵,
    ∴,解得,,
    ∴.
    答:古塔的高度ME约为39.8m.

    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念,熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键.
    60.26.
    【解析】
    试题分析:作AE⊥CD于E,根据正切的定义求出CE和AE,计算即可.
    试题解析:解:作AE⊥CD于E,∵AB=15m,∴DE=AB=15m,∵∠DAE=45°,∴AE=DE=15m,在Rt△ACE中,tan∠CAE=,则CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm,∴AB=CE+DE=11+15=26m.
    答:实验楼的垂直高度即CD长为26m.

    点睛:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.
    61.(1)点B距水平面AE的高度BH为5米.
    (2)宣传牌CD高约2.7米.
    【解析】
    【分析】
    (1)过B作DE的垂线,设垂足为G.分别在Rt△ABH中,通过解直角三角形求出BH、AH.
    (2)在△ADE解直角三角形求出DE的长,进而可求出EH即BG的长,在Rt△CBG中,∠CBG=45°,则CG=BG,由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
    【详解】
    解:(1)过B作BG⊥DE于G,

    在Rt△ABF中,i=tan∠BAH=,∴∠BAH=30°
    ∴BH=AB=5(米).
    答:点B距水平面AE的高度BH为5米.
    (2)由(1)得:BH=5,AH=5,
    ∴BG=AH+AE=5+15.
    在Rt△BGC中,∠CBG=45°,∴CG=BG=5+15.
    在Rt△ADE中,∠DAE=60°,AE=15,
    ∴DE=AE=15.
    ∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7(米).
    答:宣传牌CD高约2.7米.
    62.(1)小亮与塔底中心的距离BD(1.9a﹣0.2)米;(2)慈氏塔的高度AB为36.1米.
    【解析】
    【分析】
    (1)由题意得,四边形CDBG、HBFE为矩形,求得GH=0.2,在Rt△AHE中,利用∠AEH的正切求得AH≈1.9a,从而得AG=1.9a﹣0.2,在Rt△ACG中,根据等腰直角三角形的性质求得CG=AG=1.9a﹣0.2,由此即可求得答案;
    (2)由题意可得关于a的方程,解方程求得a的值即可得答案.
    【详解】
    (1)由题意得,四边形CDBG、HBFE为矩形,
    ∴GB=CD=1.7,HB=EF=1.5,
    ∴GH=0.2,
    在Rt△AHE中,tan∠AEH=,
    则AH=HE•tan∠AEH≈1.9a,
    ∴AG=AH﹣GH=1.9a﹣0.2,
    在Rt△ACG中,∠ACG=45°,
    ∴CG=AG=1.9a﹣0.2,
    ∴BD=1.9a﹣0.2,
    答:小亮与塔底中心的距离BD(1.9a﹣0.2)米;
    (2)由题意得,1.9a﹣0.2+a=52,
    解得,a=18,
    则AG=1.9a﹣0.2=34.4,
    ∴AB=AG+GB=36.1,
    答:慈氏塔的高度AB为36.1米.
    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的应用,涉及了矩形的性质,等腰直角三角形的性质等,准确识图,找准直角三角形是解题的关键.
    63.2
    【解析】
    【分析】
    过B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长,然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长.
    【详解】
    解:过B作BD⊥AC于点D.
    在Rt△ABD中,BD=AB•sin∠BAD=4×=(千米),
    ∵△BCD中,∠CBD=45°,
    ∴△BCD是等腰直角三角形,
    ∴CD=BD=(千米),
    ∴BC=BD=(千米).
    答:B,C两地的距离是千米.

    点睛:此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用.此题难度适中,解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识,利用三角函数的知识求解.
    64.该建筑物的高度约为138m.
    【解析】
    【分析】
    根据CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m,再利用解直角得出x的值,即可得出CD的长.
    【详解】
    解:设CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m.
    在Rt△AEC中,tan∠CAE=,即tan30°=
    ∴,3x=(x+100)
    解得x=50+50=136.6
    ∴CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1≈138(m)
    答:该建筑物的高度约为138m.
    65.这棵古树的高AB为18m.
    【解析】
    【分析】
    如图,过点C作CH⊥AB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5,继而可得AB=BD+0.5,再证明△EFG∽△ABC,根据相似三角形的性质得,即,由此求得BD长,即可求得AB长.
    【详解】
    如图,过点C作CH⊥AB于点H,

    则CH=BD,BH=CD=0.5,
    在Rt△ACH中,∠ACH=45°,
    ∴AH=CH=BD,
    ∴AB=AH+BH=BD+0.5,
    ∵EF⊥FB,AB⊥FB,
    ∴∠EFG=∠ABG=90°,
    由题意,易知∠EGF=∠AGB,
    ∴△EFG∽△ABG,
    ∴,即,
    解得:BD=17.5,
    ∴AB=17.5+0.5=18(m),
    ∴这棵古树的高AB为18m.
    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的应用,相似三角形的判定与性质,正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
    66.(1)坡底C点到大楼距离AC的值为20米;(2)斜坡CD的长度为80-120米.
    【解析】
    分析:(1)在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;
    (2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,得AF=DE,DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可.
    详解:(1)在直角△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA=60°,AB=60米,则AC=(米)
    答:坡底C点到大楼距离AC的值是20米.
    (2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,

    ∴AF=DE,DF=AE.
    设CD=x米,在Rt△CDE中,DE=x米,CE=x米
    在Rt△BDF中,∠BDF=45°,
    ∴BF=DF=AB-AF=60-x(米)
    ∵DF=AE=AC+CE,
    ∴20+x=60-x
    解得:x=80-120(米)
    故斜坡CD的长度为(80-120)米.
    点睛:此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题,坡度坡角问题,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
    67.能,点到地面的距离的长约为.
    【解析】
    【分析】
    延长交于,根据等腰直角三角形的性质得到,根据正切的定义求出,结合图形计算即可.
    【详解】
    能,
    理由如下:延长交于,
    则,


    设,则,

    在中,,则,

    解得,,
    则,
    答:点到地面的距离的长约为.

    【点睛】
    本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
    68.(1)30;(2).
    【解析】
    试题分析:(1)、过点B作BE⊥AC于点E,根据Rt△AEB中∠A的正弦值得出BE的长度;(2)、根据题意得出AE的长度,然后求出AC的长度,最后根据Rt△ADC的三角函数得出CD的长度.
    试题解析:(1)、过点B作BE⊥AC于点E,
    在Rt△AEB中,AB=60m,sinA=,BE=ABsinA=60×=30m,
    (2)、cosA=, ∴AE=60×=30m
    在Rt△CEB中,∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°,∴BE=CE=30m, ∴AC=AE+CE=(30+30)m
    在Rt△ADC中,sinA=, 则CD=(30+30)×=(15+15)m.

    考点:三角函数的应用
    69.约288米
    【解析】
    【分析】
    先过P作PC⊥AB于C,在Rt△APC中,根据AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°求出PC的长,再根据在Rt△PBC中,,得出PB的值,即可得出答案.
    【详解】
    解:过P作PC⊥AB于C,


    在Rt△APC中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,
    ∴PC=200×sin60°=200×=100.
    ∵在Rt△PBC中,,
    ∴(m).
    答:小亮与妈妈相距约288米.
    70.6.4米
    【解析】
    解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°.
    ∴DC=BC•cos30°=米,
    ∵CF=1米,
    ∴DC=9+1=10米,
    ∴GE=10米,
    ∵∠AEG=45°,
    ∴AG=EG=10米,
    在直角三角形BGF中,
    BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米,
    ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,
    答:树高约为6.4米
    首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高
    71.11.9米
    【解析】
    【分析】
    先根据锐角三角函数的定义求出AC的长,再根据AB=AC+DE即可得出结论
    【详解】
    ∵BD=CE=6m,∠AEC=60°,
    ∴AC=CE•tan60°=6×=6≈6×1.732≈10.4m,
    ∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9m.
    答:旗杆AB的高度是11.9米.
    72.楼房高度约为23.7米
    【解析】
    【分析】
    过作于,于,交于,作于,则,,求出,得出,,求出,证出,得出,得出,因此,即可得出答案.
    【详解】
    解:过作于,于,交于,作于,如图所示:

    则,
    ∵坡面米,山坡的坡度,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴(米),
    答:楼房高度约为23.7米.
    【点睛】
    此题是解直角三角形的应用--仰角,俯角问题,主要考查了仰角、坡度的定义,能够正确地构建出直角三角形,将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.
    73.旗杆AB的高度约等于8.2m
    【解析】
    【分析】
    过点C作CE⊥AB于点E,设BM=x,根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.
    【详解】
    过点作于点,
    ,,

    设,




    已知四边形是矩形,
    ,,

    在中,


    解得:,


    【点睛】
    此题考查解直角三角形的应用,矩形的性质,锐角三角函数的定义,解题关键在于作辅助线和列出方程组.
    74.50海里
    【解析】
    试题分析:过点A作AD⊥BC于D,则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离,线段CD的长度即为所求.先由方位角的定义得出∠ABC=30°,∠ACD=60°,由三角形外角的性质得出∠BAC=30°,则CA=CB=100海里,然后解直角△ADC,得出CD=AC=50海里.
    解:过点A作AD⊥BC于D,

    根据题意得,∠ABC=30°,∠ACD=60°,
    ∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°.∴CA=CB.
    ∵CB=50×2=100(海里),∴CA=100(海里).
    在Rt△ADC中,∠ACD=60°,∴CD=AC=×100=50(海里).
    故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近.

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