2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第七章　第1讲　不等关系与不等式

第1讲　不等关系与不等式

一、知识梳理

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．

(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，

a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)．

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．

常用结论

记住不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①a>b，ab>0⇒<；

②a<0<b⇒<；

③a>b>0，d>c>0⇒>.

(2)有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

①<；>(b－m>0)；

②>；<(b－m>0)．

二、教材衍化  

1．         ＋1(填“>”“<”或“＝”)．

答案：<

2．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的        条件．(填“充分不必要”“必要不充分”和“充要”)

解析：－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒/ －>0.

答案：充分不必要

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)

(2)若>1，则a>b.(　　)

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)

(4)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)

(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、易错纠偏

(1)不等号的传递性中同向问题；

(2)可乘性中的乘正负数问题．

1．设a>b，a，b，c∈R，则下列结论正确的是(　　)

A．ac2>bc2　　　　　　　 B.>1

C．a－c>b－c  D．a2>b2

解析：选C.当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A错误；当b＝0时，无意义，所以选项B错误；因为a>b，所以a－c>b－c恒成立，所以选项C正确；当a≤0时，a2<b2，所以选项D错误．故选C.

2．下列不等式中恒成立的是          ．

①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；

③5m＞3m；④5＋m＞5－m.

解析：m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；

5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；

5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；

5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．

答案：①②

　　　　　　比较两个数(式)的大小(典例迁移)

(1)已知a>b>0，m>0，则(　　)

A.＝

B.>

C.<

D.与的大小关系不确定

(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．

【解】　(1)选C.－＝＝.

因为a>b>0，m>0.

所以b－a<0，a＋m>0，所以<0.

即－<0.所以<.

(2)因为a＝＞0，b＝＞0，

所以＝·

＝＝＝log89＞1，

所以a＞b.

【迁移探究】　若本例(1)的条件不变，试比较与的大小．

解：－＝＝.

因为a>b>0，m>0.

所以a－b>0，m(a－b)>0.

(1)当a>m时，a(a－m)>0，

所以>0，即－>0，故>.

(2)当a<m时，a(a－m)<0.

所以<0，

即－<0，故<.

比较两个数(式)大小的3种方法

1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B　　　　　　　 B．A≥B

C．A<B  D．A>B

解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.

2．已知a，b是实数，且e<a<b，其中e是自然对数的底数，则ab与ba的大小关系是        ．

解析：令f(x)＝，x>0，

则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，

即函数f(x)在x>e时是减函数．

因为e<a<b，所以>，

即bln a>aln b，所以ln ab>ln ba，

则ab>ba.

答案：ab>ba

　　　　　　不等式的性质(师生共研)

(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

(2)若a＞0＞b＞－a，c<d<0，则下列结论：①ad＞bc；②＋<0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

【解析】　(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；

当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；

当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.

综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.

(2)因为a＞0＞b，c<d<0，

所以ad<0，bc＞0，

所以ad<bc，故①错误．

因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，

因为c<d<0，所以－c＞－d＞0，

所以a(－c)＞(－b)(－d)，

所以ac＋bd<0，所以＋＝<0，故②正确．

因为c<d，所以－c＞－d，

因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，

即a－c＞b－d，故③正确．

因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，

故④正确，故选C.

【答案】　(1)C　(2)C

判断关于不等式的命题的真假的方法

(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．

(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．

(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．

1．(一题多解)(2020·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a2<－ab　　　　　　 B．|a|<|b|

C.>  D．()a>()b

解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C.

优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.

2．已知a<b<c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2<b2<c2  B．a|b|<c|b|

C．ba<ca  D．ca<cb

解析：选D.因为a<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．

　　　　　　不等式性质的应用(典例迁移)

已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是        ，3x＋2y的取值范围是        ．

【解析】　因为－1<x<4，2<y<3，

所以－3<－y<－2，

所以－4<x－y<2.

由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，

4<2y<6，

所以1<3x＋2y<18.

【答案】　(－4，2)　(1，18)

【迁移探究1】　(变条件)若将本例条件改为“－1<x<y<3”，求x－y的取值范围．

解：因为－1<x<3，－1<y<3，

所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4.

又因为x＜y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0，

故x－y的取值范围为(－4，0)．

【迁移探究2】　(变条件)若将本例条件改为“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范围．

解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，

则所以

即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，

又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3，

所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，

所以－<(x＋y)＋(x－y)<，

即－<3x＋2y<，

所以3x＋2y的取值范围为.

求代数式取值范围的方法

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能会扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．

1．设α∈，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选D.由题设得－<2α<π，0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－＜π.

2．(陕西汉中模拟)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是        ．

解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.

答案：(－π，2π)

[基础题组练]

1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　)

A．f(x)＝g(x)　　　　　 B．f(x)>g(x)

C．f(x)<g(x)  D．随x的值变化而变化

解析：选B.f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0⇒f(x)>g(x)．

2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)

A．ab>0  B．ab<0

C．a＋b>0  D．a＋b<0

解析：选A.因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.

3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是(　　)

A．－n<m<n<－m  B．－n<m<－m<n

C．m<－n<－m<n  D．m<－n<n<－m

解析：选D.法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．

法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．

4．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c≥b>a  B．a>c≥b

C．c>b>a  D．a>c>b

解析：选A.因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，所以2b＝2＋2a2，所以b＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，所以b>a，所以c≥b>a.

5．(2020·扬州模拟)若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是        ．

解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，

因为a1<a2，b1<b2，

所以(a1－a2)(b1－b2)>0，

即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1

6．已知a，b∈R，则a<b和<同时成立的条件是        ．

解析：若ab<0，由a<b两边同除以ab得，＞，

即<；若ab＞0，则＞.

所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.

答案：a<0<b

7．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是        ．

解析：因为－<α<π，－<β<π，

所以－π<－β<，

所以－<α－β<.又因为α<β，

所以α－β<0，从而－<α－β<0.

答案：

8．已知12<a<60，15<b<36，求a－b，的取值范围．

解：因为15<b<36，所以－36<－b<－15.

又12<a<60，

所以12－36<a－b<60－15，

所以－24<a－b<45，

即a－b的取值范围是(－24，45)．

因为<<，

所以<<，

所以<<4，

即的取值范围是.

[综合题组练]

1．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选A.若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.

2．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是(　　)

A．[9，18]  B．(15，30)

C．[9，30]  D．(9，30)

解析：选D.因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.

3．设a>b，有下列不等式：①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有        ．(填正确的序号)

解析：对于①，>0，故①成立；

对于②，a>0，b<0时不成立；

对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；

对于④，|c|≥0，故④成立．

答案：①④

4．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是        ．

解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，

当a>0时，b2>1>b，

即解得b<－1；

当a<0时，b2<1<b，

即无解．

综上可得b<－1.

答案：(－∞，－1)