2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第七章　第4讲　基本不等式

第4讲　基本不等式

一、知识梳理

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

[点拨]　应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．

2．利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)

[点拨]　在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．

常用结论

几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

二、教材衍化  

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　　　　　　　　　　　 B．77

C．81  D．82

解析：选C.xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.

2．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是        ．

解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，

所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．

答案：25 m2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.　(　　)

(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)

(4)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、易错纠偏

(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；

(2)忽视定值存在；

(3)忽视等号成立的条件．

1．若x<0，则x＋(　　)

A．有最小值，且最小值为2

B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为－2

D．有最大值，且最大值为－2

解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.

2．若x>1，则x＋的最小值为        ．

解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

答案：5

3．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为        ．

解析：y＝2x(1－x)≤2＝.

当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．

答案：

　　　　　利用基本不等式求最值(典例迁移)

角度一　通过配凑法求最值

(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为        ．

(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为        ．

【解析】　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，

当且仅当3x＝4－3x，

即x＝时，取等号．

(2)因为x<，所以5－4x>0，

则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤

－2 ＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

【答案】　(1)　(2)1

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

角度二　通过常数代换法求最值

已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为        ．

【解析】　＝＝

·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．

【答案】　9

【迁移探究1】　(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为        ．

解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．

答案：4

【迁移探究2】　(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为        ．

解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，

＝

＝

＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．

答案：＋

常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

角度三　通过消元法求最值

若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．

【解析】　因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．故x＋2y的最小值为.

【答案】　A

通过消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．

1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a，b满足a＋b＝(ab)，则ab的最小值为(　　)

A．1   B.

C．2  D．4

解析：选C.(ab)＝a＋b≥2＝2(ab)，所以ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，故ab的最小值为2，故选C.

2．已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　)

A.   B.

C.  D．3

解析：选D.由题意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2－1＝4－1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立)．

3．已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，则x＋y的最小值为        ．

解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.

即＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝16＋1＋＋≥17＋2＝25，当且仅当x＝4y＝20时等号成立，

所以x＋y的最小值为25.

答案：25

　　　　利用基本不等式解决实际问题(师生共研)

某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？

【解】　(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．

应用基本不等式解决实际问题的基本步骤

(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；

(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；

(3)还原为实际问题，写出答案．

　某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．

解：设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．

[基础题组练]

1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，

所以xy≤＝＝1，

所以≥1.

2．下列选项中，正确的是(　　)

A．x＋的最小值为2

B．sin x＋的最小值为4，x∈(0，π)

C．x2＋1的最小值为2

D．4x(1－x)的最大值为1

解析：选D.对于A，当x<0时，x＋<0，错误；对于B，当x∈(0，π)时，0<sin x≤1，由基本不等式可得sin x＋≥2＝4，当且仅当sin x＝，即当sin x＝2时，等号成立，这与0<sin x≤1矛盾，错误；

对于C，因为x2≥0，x2＋1≥1，当且仅当x＝0时取等号，所以，x2＋1的最小值为1；

对于D，由基本不等式可得4x(1－x)≤4·＝1，当且仅当x＝1－x时，即当x＝时，等号成立，正确．

3．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)

A．0   B.

C．1  D．

解析：选A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.

4．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选B.法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.

法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.

法三：由题意知a＝(b>1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.

5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是        ．

解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.

答案：30

6．函数y＝(x>－1)的最小值为        ．

解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，

所以y≥2－2＝0，

当且仅当x＝0时，等号成立．

答案：0

7．(2020·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为        ，＋的最小值为        ．

解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.

答案：2　

8．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解：(1)由2x＋8y－xy＝0，

得＋＝1，

又x>0，y>0，

则1＝＋≥2 ＝.

得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2 ＝18.

当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

[综合题组练]

1．设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)

A．16  B．9

C．4  D．2

解析：选C.在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)．

由题意知2＋1≥5，所以a≥4.

2．(2020·陕西铜川一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)

A．3  B．5

C．7  D．9

解析：选C.因为x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.

3．已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为        ；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是        ．

解析：因为x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，所以x2＋y2的最小值为.

若a≤＋恒成立，则a小于等于的最小值，因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．

答案：　(－∞，9]

4．(2020·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为        ．

解析：因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋2y)(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.

答案：7＋4