2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第5讲　指数函数

第5讲　指数函数

一、知识梳理

指数函数的图象及性质

常用结论

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．

二、教材衍化

1．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝        ．

答案：

2．已知a＝，b＝，

c＝，则a，b，c的大小关系是        ．

解析：因为y＝是减函数，所以>>，即a>b>1，又c＝<＝1，所以c<b<a.

答案：c<b<a

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)

(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(3)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)

(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、易错纠偏

(1)不理解指数函数概念出错；

(2)忽视底数a的范围出错．

1．函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，则a的值为        ．

解析：因为函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，所以a2－5a＋5＝1，解得a＝1或a＝4.又因为指数函数y＝ax的底数a需满足a>0且a≠1，所以a＝4.

答案：4

2．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是        ．

解析：由题意知0<a2－1<1，即1<a2<2，得－<a<－1或1<a<.

答案：(－，－1)∪(1，)

　　　　　　指数函数的图象及应用(典例迁移)

(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0

(2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为        ．

【解析】　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上是减少的，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解．

【答案】　(1)D　(2){0}∪[1，＋∞)

【迁移探究1】　(变条件)若本例(2)的条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为        ．

解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k>0.

答案：(0，＋∞)

【迁移探究2】　(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是        ．

解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．

由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1]

【迁移探究3】　(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？

解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知其在(－∞，0]上是减少的，所以k∈(－∞，0]．

指数函数图象的画法及应用

(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住关键点．

(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

1．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为(　　)

A．(0，1)　　　　　　　 B．(2，3)

C．(3，2)  D．(2，2)

解析：选B.令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．

2．(2020·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是(　　)

解析：选B.因为－|x－1|≤0，所以0<e－|x－1|≤e0，即0<y＝e－|x－1|≤1，故选B.

3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是        ．

解析：(1)当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图①.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<.

(2)当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a>1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0<a<.

答案：

　　　　　　指数函数的性质及应用(多维探究)

角度一　比较指数幂的大小

已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是(　　)

A．c<a<b  B．b<a<c

C．a<c<b  D．a<b<c

【解析】　把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，又>>，所以<<，即b<a<c.

【答案】　B

比较指数幂大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．

角度二　解简单的指数方程或不等式

不等式<恒成立，则a的取值范围是        ．

【解析】　由题意，y＝是减函数，

因为<恒成立，

所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，

所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，

所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，

即(a－2)(a－2＋4)<0，即(a－2)(a＋2)<0，

解得－2<a<2，即a的取值范围是(－2，2)．

【答案】　(－2，2)

解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

角度三　研究指数型函数的性质

(1)函数f(x)＝的递减区间为        ．

(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是        ．

【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

所以函数f(x)的减区间为(－∞，1]．

(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．

(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：

当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；

当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．

1．函数y＝的值域是(　　)

A．(－∞，4)　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(0，4]  D．[4，＋∞)

解析：选C.设t＝x2＋2x－1，则y＝.因为0<<1，所以y＝为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝≤＝4，故所求函数的值域为(0，4]．

2．已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　)

A．0<b<a<1  B．0<a<b<1

C．1<b<a  D．1<a<b

解析：选C.因为x>0时，1<bx，所以b>1.因为x>0时，bx<ax，所以x>0时，>1.所以>1，所以a>b.所以1<b<a.故选C.

思想方法系列3　换元法求解指数型函数的有关问题

已知函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，求m的取值范围．

【解】　设t＝2x，则f(x)＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.

因为x∈[－2，2]，所以t∈.

又函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上是增加的，

即f(x)＝t2＋mt－2在区间上是增加的，

故有－≤，

解得m≥－.

所以m的取值范围为.

(1)此例题利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋mt－2，其中t∈，将问题转化为求二次函数在闭区间上的单调性问题，从而减少了运算量．

(2)对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法．

　已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

解：(1)由已知得＝2.

解得a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝，

又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝，

所以－－2＝0，

令＝t，则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，

又t>0，故t＝2，即＝2.解得x＝－1，

故满足条件的x的值为－1.

 [基础题组练]

1．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　)

A．为增函数　　　　　　 B．为减函数

C．先增后减  D．先减后增

解析：选A.由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数．

2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)

A．M＝N  B．M≤N

C．M<N  D．M>N

解析：选D.因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D.

3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)

A．[9，81]  B．[3，9]

C．[1，9]  D．[1，＋∞)

解析：选C.由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，所以f(x)＝3x－2且在[2，4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.

4.已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)

解析：选B.由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0<a<1.因为函数y＝kx＋a的图象与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1<k<0.函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移－k个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，选B.

5．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)

A．偶函数，在[0，＋∞)内是增加的

B．偶函数，在[0，＋∞)内是减少的

C．奇函数，且是增函数

D．奇函数，且是减函数

解析：选C.易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且是增函数，故选C.

6．不等式2－x2＋2x>的解集为        ．

解析：不等式2－x2＋2x >可化为>，等价于x2－2x<x＋4，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4.

答案：{x|－1<x<4}

7．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的递减区间是        ．

解析：由f(1)＝得a2＝.

又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.

因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上是增加的，所以f(x)的递减区间是[2，＋∞)．

答案：[2，＋∞)

8．设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上是增加的，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________．

解析：由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，

又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上是增加的，得a>1.

则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1)．

答案：g(a)>g(b－1)

9．已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．

解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，又y＝是减少的，

因此f(x)的递增区间是(－∞，0]，

递减区间是(0，＋∞)．

(2)由于f(x)的最大值是，

且＝，

所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.

10．(2020·福建养正中学模拟)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax(－3≤x≤3)．

(1)若g(x)在[－3，3]上是单调函数，求a的取值范围；

(2)当a＝－1时，求函数y＝f(g(x))的值域．

解：(1)g(x)＝(x＋a)2－a2图象的对称轴为直线x＝－a，因为g(x)在[－3，3]上是单调函数，所以－a≥3或－a≤－3，即a≤－3或a≥3.故a的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．

(2)当a＝－1时，f(g(x))＝2 (－3≤x≤3)．

令u＝x2－2x，y＝2u.

因为x∈[－3，3]，所以u＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1，15]．

而y＝2u是增函数，所以≤y≤215，

所以函数y＝f(g(x))的值域是.

[综合题组练]

1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)函数y＝(x∈R)的值域为(　　)

A．(0，＋∞)  B．(0，1)

C．(1，＋∞)  D.

解析：选B.y＝＝＝1－，

因为2x>0，所以1＋2x>1，

所以0<<1，－1<－<0，0<1－<1，即0<y<1，

所以函数y的值域为(0，1)，故选B.

2．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为8，最小值为m.若函数g(x)＝(3－10m)是增函数，则a＝________．

解析：根据题意，得3－10m>0，解得m<；

当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上是增加的，

最大值为a2＝8，解得a＝2，最小值为m＝a－1＝＝>，不合题意，舍去；

当0<a<1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上是减少的，最大值为a－1＝8，解得a＝，最小值为m＝a2＝<，满足题意．综上，a＝.

答案：

3．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.

解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

即＝0，解得b＝1，

所以f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．

又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．

所以t2－2t>－2t2＋1即3t2－2t－1>0.

解得t>1或t<－，所以该不等式的解集为.