新高考数学一轮复习教师用书：第二章　5 第5讲　指数与指数函数学案

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第5讲　指数与指数函数


1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象及性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)

图象
0 a>1


图象特征
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减
增
函数值
变化
规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0 当x<0时，0 当x>0时，y>1
4.指数函数的变化特征
在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．
作出直线x＝1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据y轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)
(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)
(6)若am0，且a≠1)，则m 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
[教材衍化]
1．(必修1P59A组T4改编)化简(x<0，y<0)＝________．
解析：因为x<0，y<0，所以4＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
答案：－2x2y
2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．
解析：作出y＝2x与y＝2－x＝的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．
答案：y轴
3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
[易错纠偏]
(1)忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错；
(2)不能正确理解指数函数的概念致错；
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．
1．计算＋＝________．
解析：＋＝(1＋)＋(－1)＝2.
答案：2
2．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
解析：由题意知即a＝2.
答案：2
3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．
解析：当a>1时，a＝2；当0 即a＝.
答案：2或
4．函数y＝2的值域为________．
解析：因为≠0，
所以2>0且2≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)


　　　　　　指数幂的运算
化简下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·÷(a，b>0)．
【解】　(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷＝－a－·b－
＝－·＝－.

指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　
　化简下列各式：
(1)(0.027)＋－；
(2)·.
解：(1)原式＝0.32＋－
＝＋－＝.
(2)原式＝＝＝.

　　　　　指数函数的图象及应用
(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)

(2)函数f(x)＝|ax＋b|(a>0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的取值范围是________．

(3)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．
【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．
(2)因为根据图象得a>1，f()＝0，b<0.
所以＋b＝0，所以a＋b＝a－>1－＝0.
(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．
【答案】　(1)A　(2)(0，＋∞)　(3){0}∪[1，＋∞)

应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．　

1．函数y＝(a>1)的图象大致是(　　)

解析：选B.y＝因为a>1，依据指数函数的图象特征可知选B.
2．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
解析：y＝＋m，
函数y＝的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.
答案：(－∞，－2]

　　　　　　指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)比较指数式的大小；
(2)解简单的指数方程或不等式；
(3)复合函数的单调性；
(4)函数的值域(最值)．
角度一　比较指数式的大小
设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．b 【解析】　因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，
即b0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，b 【答案】　C
角度二　解简单的指数方程或不等式
设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】　当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>－3，此时－3 【答案】　C
角度三　复合函数的单调性
(1)函数f(x)＝的单调减区间为________．
(2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，
因为y＝在R上为减函数，
所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．
(2)因为f(x)＝2|x－a|，
所以f(x)的图象关于x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，
所以m≥1，故m的最小值为1.
【答案】　(1)(－∞，1]　(2)1
角度四　函数的值域(最值)
如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为(　　)
A. B．1
C．3 D.或3
【解析】　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．
当0 所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去)．
综上知a＝3或a＝.
【答案】　D

有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
[提醒]　在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．　

1．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
解析：当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.
答案：－
2．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．
解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈，所以[－8，1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0，
所以实数a的取值范围是[－3，0)．
答案：[－3，0)

[基础题组练]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．化简4a·b－÷的结果为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C.原式＝a－b－－＝－6ab－1＝－，故选C.
3．下列各式比较大小正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
解析：选B.A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.
4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是　(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.由f(1)＝得a2＝.
又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
5．已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是(　　)
A．(0，2] B.
C. D.∪
解析：选C.因为函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，
所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|，
因为区间[1，2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，
所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，
因为y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反，
所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，
即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立，
即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，
即≤t≤2，故答案为C.
6．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，所以f(0)＝a0＝1.
且f(m)＝am＝3.
所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝.
答案：
7．(2020·杭州中学高三月考)已知ex＋x3＋x＋1＝0，－27y3－3y＋1＝0，则ex＋3y的值为________．
解析：因为ex＋x3＋x＋1＝0，－27y3－3y＋1＝0等价于e－3y＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0，所以x＝－3y，即x＋3y＝0，所以ex＋3y＝e0＝1.
答案：1
8．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，a应满足解得 答案：
9．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：原不等式变形为m2－m<，
因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，
所以≥＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－1 答案：(－1，2)
10．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
11．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，a≠1，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
解：(1)因为f(x)为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2.
②当0 所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.
[综合题组练]
1．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为af(c)>f(b)，结合图象知，00，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.
2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
解析：选B.作出函数y＝f(x)图象如图所示：

再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C，发现y＝与曲线C有且仅有一个交点，
因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．故选B.
3．(2020·杭州模拟)已知函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，如图所示，则＋的最小值为________，此时a，b的值分别为________．　
解析：由函数y＝ax＋b(a>0且a≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，得a＋b＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝＝2＋＋＋≥＋2　＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为.
答案：　，
4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)＝e|x|，将函数f(x)的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象，函数h(x)＝若对于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，则实数λ的最大值为________．
解析：依题意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐标系中分别作出g(x)，h(x)的图象如图所示，观察可得，要使得h(x)≥g(x)，则有4e6－x＋2≥e(x－3)＋2，故4≥e2x－9，解得2x－9≤ln 4，故x≤ln 2＋，实数λ的最大值为ln 2＋.
答案：ln 2＋
5．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1
＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈.
故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，
故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
设2x＝m>0，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，
过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.
6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：
①m>n>3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为x∈[－1，1]，
所以f(x)＝∈，
设t＝∈.
则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a<时，ymin＝h(a)＝φ＝－；
当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当a>3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
所以h(a)＝
(2)假设存在m，n满足题意．
因为m>n>3，h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数，
又因为h(a)的定义域为[n，m]，
值域为[n2，m2]，
所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即m＋n＝6，与m>n>3矛盾，
所以满足题意的m，n不存在．