2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第九章　第6讲　双曲线

第6讲　双曲线

一、知识梳理

1．双曲线的定义

2.双曲线的标准方程和几何性质

3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.

常用结论

1．双曲线中的几个常用结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.

(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.

2．巧设双曲线方程

(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．

二、习题改编

1．(选修1­1P53T1改编)双曲线－＝－1的实轴长        ，离心率        ，渐近线方程        ．

答案：10　　y＝±x

2．(选修1­1P53练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为        ．

答案：x2－＝1

3．(选修1­1P54A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为        ．

答案：－＝1

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　　)

(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．(　　)

(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、易错纠偏

(1)忽视双曲线定义的条件致误；

(2)忽视双曲线焦点的位置致误．

1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是        ．

解析：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．

答案：双曲线－＝1的下支

2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为        ．

解析：若双曲线的焦点在x轴上，

设双曲线的方程为－＝1，

则渐近线的方程为y＝±x，

由题意可得＝，b＝a，

可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，

设双曲线的方程为－＝1，

则渐近线的方程为y＝±x，

由题意可得＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.

综上可得e＝2或e＝.

答案：2或

　　　　　　双曲线的定义及应用(典例迁移)

设F1，F2是双曲线－y2＝1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是        ．

【解析】　双曲线－y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝.可设点P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4，两边平方得，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，又|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝1.

【答案】　1

【迁移探究】　(变设问)在本例条件下，则△F1PF2的周长为        ．

解析：又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝16＋8＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝2，△PF1F2的周长为2＋2.

答案：2＋2

双曲线定义的应用

(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．

[注意]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝(　　)

A．6  B．4 

C．8  D．4或8

解析：选D.由双曲线的标准方程可得a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.

2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝        ．

解析：由双曲线的定义有

|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，

所以|PF1|＝2|PF2|＝4，

则cos∠F1PF2＝

＝＝.

答案：

　　　　　　双曲线的标准方程(师生共研)

(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1   B.－y2＝1

C．x2－＝1(x≤－1)  D．x2－＝1(x≥1)

(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程为        ．

【解析】　(1)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．

(2)在椭圆＋＝1中，c＝＝.因为双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1.当λ>0时，c＝＝，解得λ＝1，则双曲线C的方程为－y2＝1；当λ<0时，c＝＝，解得λ＝－1，则双曲线C的方程为y2－＝1.综上，双曲线C的方程为－y2＝1或y2－＝1.

【答案】　(1)C　(2)－y2＝1或y2－＝1

求双曲线标准方程的方法

(1)定义法

根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：

①c2＝a2＋b2；

②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.

(2)待定系数法

①一般步骤

②常用设法

(i)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；

(ii)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；

(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．

1．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1  D．－＝1

解析：选B.2a＝

＝4.所以a＝2，又c＝6，

所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.

所以双曲线的标准方程为－＝1.故选B.

2．(2020·合肥市第一次质检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1  D．x2－＝1

解析：选A.由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝x＝x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.

　　　　　　双曲线的几何性质(多维探究)

角度一　双曲线的渐近线问题

(2020·吉林第三次调研测试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x  B．y＝±x 

C．y＝±x  D．y＝±x

【解析】　双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2a，虚轴长为2b，所以2a＝2b，即a＝b.

所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.

【答案】　C

求双曲线的渐近线的方法

求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．

[说明]　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称．

角度二　双曲线的离心率问题

(1)(2020·兰州市诊断考试)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为(　　)

A．8  B．4 

C．2  D．

(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)

A.   B. 

C．2  D．

【解析】　(1)由题意知2a＝4，所以a＝2.因为e＝＝，所以c＝2，所以b＝＝2，所以2b＝4，即该双曲线的虚轴长为4，故选B.

(2)法一：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为＋y2＝，将圆＋y2＝与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，即x＝，所以点P，Q的横坐标均为.由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，因此＋＝a2，即＋＝a2，即＝a2＝，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝＝，故选A.

法二：记F(c，0)．连接OP，PF，则OP⊥PF，所以S△OPF＝|OP|·|PF|＝|OF|·|PQ|，即a·＝c·c，即c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝＝，故选A.

法三：记F(c，0)．依题意，PQ是以OF为直径的圆的一条弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|＝|OF|，因此PQ是该圆的与OF垂直的直径，所以∠FOP＝45°，点P的横坐标为，纵坐标的绝对值为，于是有×＝a，即e＝＝，即C的离心率为，故选A.

【答案】　(1)B　(2)A

(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法

①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.

②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．

(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.　

1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为(　　)

A.   B.

C.  D．2

解析：选D.双曲线的离心率为，即＝，

所以＝＝＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选D.

2．(2020·陕西榆林二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为        ．

解析：把x＝c代入双曲线：－＝1(a>0，b>0)得y＝，所以B，

又A(－a，0)，直线AB的斜率为，所以＝，

可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，

即2e2－3－e＝0，

因为e>1，所以e＝.

答案：

思想方法系列14　方程思想求圆锥曲线的离心率

(2020·广东汕尾一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若tan∠MAN＝－，则双曲线C的离心率为(　　)

A．3  B．2 

C.  D．

【解析】　由题意可知

tan∠MAN

＝－

＝，

解得tan∠MAF＝3，

可得＝3，

可得c2＋2a2－3ac＝0，e2＋2－3e＝0，

因为e＞1，

所以解得e＝2.

故选B.

【答案】　B

(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e的方程，然后求出离心率e.

(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解．

　已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点．若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是(　　)

A．(0，－1)  B．(－1，1) 

C．(0，－1)  D．(－1，1)

解析：选B.由题意得F1(－c，0)，F2(c，0)，A，B.因为△ABF2是锐角三角形，所以∠AF2F1＜45°，所以tan∠AF2F1＜1，即＜1.整理，得b2＜2ac，所以a2－c2＜2ac.两边同时除以a2并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)．又因为0＜e＜1，所以椭圆的离心率e的取值范围为(－1，1)．

[基础题组练]

1．(2019·高考北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　)

A. 　　　 B．4 　　　　

C．2 　　　　 D.

解析：选D.由双曲线方程－y2＝1，

得b2＝1，

所以c2＝a2＋1.

所以5＝e2＝＝＝1＋.

结合a>0，解得a＝.

故选D.

2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)

A．2  B．4 

C．6  D．8

解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.

3．设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)

A．10  B．8 

C．8  D．16

解析：选C.依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8×＝8.

4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±2x

解析：选C.设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x，故选C.

5．(2019·高考天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B. 

C．2  D．

解析：选D.由题意知F(1，0)，l：x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则|AB|＝4|OF|＝4，而|AB|＝2×，所以＝2，所以e＝＝＝＝，故选D.

6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是        ．

解析：因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.

答案：y＝±x

7．(2020·陕西渭南期末改编)已知方程＋＝1，若该方程表示双曲线，则k的取值范围是        ，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是        ．

解析：方程＋＝1表示双曲线，若焦点在x轴上，则4－k>0，k－2<0，解得k<2；若焦点在y轴上，则4－k<0，k－2>0，解得k>4，则k的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－2>0，即2<k<3，则k的取值范围为(2，3)．

答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)　(2，3)

8．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点P(1，)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为        ，其离心率为        ．

解析：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，点P(1，)在渐近线上，所以＝.在Rt△OPF中，|OP|＝＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.又c2＝a2＋b2，所以b＝2，a＝2，所以双曲线C的方程为－＝1，离心率e＝＝2.

答案：－＝1　2

9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，

因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，

所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，

又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.

所以＝3，得a＝3，b＝4，

所以双曲线G的方程为－＝1.

10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．

解：(1)因为离心率e＝，

所以双曲线为等轴双曲线，

可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，

则由点(4，－)在双曲线上，

可得λ＝42－(－)2＝6，

所以双曲线的方程为x2－y2＝6.

(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，

所以32－m2＝6，所以m2＝3，

又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，

所以·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，

所以MF1⊥MF2，

所以点M在以F1F2为直径的圆上．

[综合题组练]

1．(2020·河南鹤壁高中4月模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A.x±y＝0  B．2x±y＝0

C.x±2y＝0  D．2x±y＝0

解析：选C.因为F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos 60°＝，即＝，所以3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，所以＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选C.

2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝，·＝0，则C的离心率为        ．

解析：法一：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．

所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.

法二：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.

答案：2

3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.

解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，

所以解得c＝3，b＝，

所以双曲线的方程为－＝1.

(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，

所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．

联立得5x2＋6x－27＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.

所以|AB|＝ × ＝.

4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得，a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，

所以双曲线C的方程为－＝1.

(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2与－＝1联立，得(1－3k2)x2－12kx－36＝0.由题意知

解得<k<1.

所以当<k<1时，l与双曲线的左支有两个交点．

所以k的取值范围为