2021版新高考数学一轮教师用书：第4章第5节第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

第五节　三角恒等变换

[考点要求]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).

(对应学生用书第77页)

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

(2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

(3)tan (α±β)＝．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan2α＝．

3．辅助角公式

a sinα＋b cos α＝sin (α＋φ)(其中sin φ＝，cos φ＝.)

1．公式的常用变式

tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；

sin 2α＝＝；

cos2α＝＝．

2．降幂公式

sin2α＝；

cos2α＝；

sin αcos α＝sin 2α.

3．升幂公式

1＋cos α＝2cos2；

1－cos α＝2sin2；

1＋sin α＝；

1－sin α＝.

4．半角正切公式

tan ＝＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)

(2)公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)

(3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　)

(4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

二、教材改编

1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos 为(　　)

A.　 B．－

C.     D．－

A　[∵cos α＝－，

α是第三象限角，

∴sin α＝－＝－.

∴cos＝(cos α－sin α)＝

＝.故选A.]

2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．

　[sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°

＝sin (270°＋77°)cos (90°＋58°)＋sin 77°cos 58°

＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°

＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°

＝sin (58°＋77°)＝sin 135°＝.]

3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝________．

　[原式＝sin (180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°

＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin (72°－42°)

＝sin 30°＝.]

4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________．

　[∵tan 60°＝tan (20°＋40°)＝，

∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)

＝－tan 20°tan 40°，

∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.]

5．若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝________．

　[tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝.]

第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

(对应学生用书第78页)

考点1　公式的直接应用

　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

　1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A.　 B．

C.     D．

B　[由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.

∵α∈(0，)，∴cos α≠0，

∴2sin α＝cos α，∴tan α＝，∴sin α＝.故选B.]

2．已知sin α＝，α∈(，π)，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为(　　)

A.－     B．

C.     D．－

A　[∵α∈(，π)，∴tan α＝－，又tan β＝－，

∴tan (α－β)＝

＝＝－.]

3．(2019·太原模拟)若α∈(0，)，且sin (α－)＝，则cos (α－)＝________．

　[由于角α为锐角，且sin (α－)＝，

则cos (α－)＝，

则cos (α－)＝cos [(α－)－]

＝cos (α－)cos ＋sin (α－)sin

＝×＋×＝.]

4．计算的值为________．

　[＝

＝＝＝.]

　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．

考点2　公式的逆用与变形用

　公式的一些常用变形

(1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β；

(2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β；

(3)1±sin α＝(sin ±cos )2；

(4)sin 2α＝＝；

(5)cos2α＝＝；

(6)tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；

(7)a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)(tan φ＝).

　公式的逆用

　(1)化简＝________．

(2)在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________．

(1)　(2)　[(1)＝＝＝＝.

(2)由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，

即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，

所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.]

　(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．

(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．

(3)重视sin αcos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β的整体应用．

　公式的变形用

　(1)化简＝________．

(2)化简sin2(α－)＋sin2(α＋)－sin2α的结果是________．

(1)－1　(2)　[(1)＝＝＝－1.

(2)原式＝＋－sin2α

＝1－[cos(2α－)＋cos (2α＋)]－sin2α

＝1－cos2α·cos －sin2α

＝1－－＝.]

　注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

　1.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a＞b＞c     B．b＞a＞c

C.c＞a＞b     D．a＞c＞b

D　[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos (50°－127°)＝cos (－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin (56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈[0，]为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.]

2．[一题多解]cos 15°－4sin215°cos15°＝(　　)

A.     B．

C.1     D．

D　[法一：cos 15°－4sin215°cos15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.

法二：因为cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°－4sin215°·cos 15°＝×－4×()2×＝×(－2＋)＝×(2－2)＝.故选D.]

3．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________．

2　[(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1

＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1

＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1

＝2.]

4．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围________．

[－，]　[由题知sin αcos β＝，①

设cos αsin β＝t，②

①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，

即sin (α＋β)＝＋t，

①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，

即sin (α－β)＝－t.

∵－1≤sin (α±β)≤1，

∴

∴－≤t≤.]

考点3　公式的灵活运用

　三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路

(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(＋α)＋(－α)＝，＝2×等．

(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．

　三角公式中角的变换

　(1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α＋β)＝，则cos β＝________．

(2)已知cos (75°＋α)＝，则cos (30°－2α)的值为________．

(1)　(2)　[(1)依题意得sin α＝＝，

因为sin(α＋β)＝＜sin α且α＋β＞α，

所以α＋β∈(，π)，所以cos (α＋β)＝－.

于是cos β＝cos [(α＋β)－α]

＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α

＝－×＋×＝.

(2)cos (75°＋α)＝sin (15°－α)＝，

所以cos (30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.]

　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．

(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．

　三角公式中名的变换

　(1)化简：(0＜θ＜π)；

(2)求值：－sin 10°(－tan 5°).

[解]　(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，

∴＝＝2cos .

又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos )

＝(2sin cos ＋2cos2)(sin－cos )

＝2cos (sin2－cos2)

＝－2coscos θ.

故原式＝＝－cos θ.

(2)原式＝－sin 10°(－)

＝－sin 10°·

＝－sin 10°·

＝－2cos 10°＝

＝

＝

＝＝.

　1.(2019·石家庄模拟)已知tan θ＋＝4，则cos2(θ＋)＝(　　)

A.     B．

C.     D．

C　[由tanθ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2(θ＋)＝＝＝

＝＝.]

2．已知α∈(0，)，β∈(0，)，且cos α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β＝________．

　[由已知可得sin α＝，sin (α＋β)＝，

∴sin β＝sin [(α＋β)－α]

＝sin (α＋β)·cos α－cos (α＋β)sin α

＝×－(－)×＝.]

3.＝________．(用数字作答)

　[＝

＝＝＝.]