2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第5章第2节平面向量的基本定理及坐标表示

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示

[最新考纲]　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0，＝(＋)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)

(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)

(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)

A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－2,1)

C．(－1,0) D．(－1,2)

D　[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，

∴a＝，b＝

∴a－b＝＝(－1,2)，故选D.]

2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]

3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.

(－7，－4)　[根据题意得＝(3,1)，

∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]

4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.

－　[由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，

得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．

由ma＋nb与a－2b共线，

得＝，所以＝－.]

考点1　平面向量基本定理的应用

　平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．

　1.如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)

A．e1与e1＋e2　　　　　 B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1

D　[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；

选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；

选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；

选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D.]

2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.　　　　 B.

C.　　　　 D.1

A　[因为M为边BC上任意一点，

所以可设＝x＋y(x＋y＝1)．

因为N为AM的中点，

所以＝＝x＋y＝λ＋μ.

所以λ＋μ＝(x＋y)＝.故选A.]

3.如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.

[解]　∵＝－＝a－b，

＝＝a－b，

∴＝＋＝a＋b.

∵＝a＋b，

∴＝＋＝＋

＝＝a＋b，

∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.

综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.

　(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．

(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

考点2　平面向量的坐标运算

　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

(1)求3a＋b－3c；

(2)求M，N的坐标及向量的坐标．

[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．

∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．

[母题探究]　(变结论)本例条件不变，若a＝mb＋nc，则m＝________，n＝________.

－1　－1　[∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)，

∴解得]

　求解此类问题的过程中，常利用“向量相等，其对应坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

　1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A.  B.

C.(3,2) D.(1,3)

A　[设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，

又＝2，∴∴故选A.]

2．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)

A．(－3,4) B．(3,4)

C．(3，－4) D．(－3，－4)

A　[∵a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，

∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，故选A.]

3.向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝

(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

D　[以O为坐标原点，建立坐标系可得a＝(－1,1)，

b＝(6,2)，

c＝(－1，－3)．

∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)．

∴

解得λ＝－2，μ＝－.

∴＝4.]

考点3　向量共线的坐标表示

　两平面向量共线的充要条件有2种形式

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)已知b≠0，则a∥b的充要条件是存在唯一实数λ，使得a＝λb(λ∈R)．

　利用向量共线求向量或点的坐标

　[一题多解]已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．

(3,3)　[法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．

又＝－＝(－2,6)，

由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝，所以＝＝(3,3)，

所以点P的坐标为(3,3)．

法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.

又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，

所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

所以点P的坐标为(3,3)．]

　利用两向量共线的条件求向量坐标的方法：一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

　利用向量共线求参数

　(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.

(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．

(1)45°　(2)－　[(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，∴cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，

又θ为锐角，∴θ＝45°.

(2)＝(a－1,3)，＝(－3,4)．

根据题意∥，

∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－.]

　如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．

[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，

∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2(k－2)－(－1)×5＝0，

∴k＝－.

(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．

∵A，B，C三点共线，

∴∥，

∴8m－3(2m＋1)＝0，

∴m＝.