2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第4章第7节正弦定理、余弦定理的综合应用

第七节　正弦定理、余弦定理的综合应用

[最新考纲]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

图①　　　　　　　　图②

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.

50　[由正弦定理得＝，

又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．]

2.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．

a　[由题图可得∠PAQ＝α＝30°，

∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，

又∠PBC＝γ＝60°，

∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，

∴＝，∴PB＝a，

∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β

＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.]

3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.

a　[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝a.]

考点1　解三角形中的实际问题

　利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤

(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．

(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．

(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

　(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米．

(1)10　(2)400　[(1)如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，

ON＝AOtan 30°＝×30

＝10(m)，

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝

＝＝10(m)．

(2)在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.

因为∠ADC＝150°，

所以∠ADB＝30°.

所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.

由正弦定理，可得＝，

所以＝，

得AD＝400(米)．

在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，

解得AC＝400(米)．

故索道AC的长为400米．]

　(1)实际测量中的常见问题

(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)．

　1.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________km.

30　[如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，

∴B＝45°，AC＝60，

由正弦定理得＝，

∴BC＝30(km)．]

2.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．

　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，

由余弦定理得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，

得BC＝20.

由正弦定理，得＝，

即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.

由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，

则cos∠ACB＝.

由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)

＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.]

考点2　平面几何中的解三角形问题

　与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路

求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．

具体解题思路如下：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.

(1)若AC＝，求△ABC的面积；

(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.

[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，

所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.

(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，  ①

在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，

由正弦定理得＝，

即＝，  ②

①②两式相除，得＝，

即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.

又因为sin2θ＋cos2θ＝1，

所以sin θ＝，即sin∠CAD＝.

　做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．

　 (2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；

(2)若∠BCD＝，求BC的长．

[解]　(1)因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，

所以sin∠DAB＝.

又0＜∠DAB＜，

所以∠DAB＝，

所以cos∠DAB＝cos ＝.

由余弦定理得

BD＝＝，

由正弦定理得sin∠ABD＝＝.

(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，

sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝＝.

在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝.

由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，

可得3BC2＋4BC－5＝0，

解得BC＝或BC＝－(舍去)．

故BC的长为.

考点3　与三角形有关的最值(范围)问题

　解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

　(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c.已知asin＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝

sin Bsin A.

因为sin A≠0，所以sin＝sin B.

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.

因为cos≠0，

故sin＝，因此B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.

因此，△ABC面积的取值范围是.

　求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点

(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．

(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．

[教师备选例题]

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．

(1)证明：B－A＝；

(2)求sin A＋sin C的取值范围．

[解]　(1)证明：由a＝btan A及正弦定理，

得＝＝，

所以sin B＝cos A，即sinB＝sin .

因为B为钝角，所以A为锐角，

所以＋A∈，

则B＝＋A，即B－A＝.

(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.

于是sin A＋sin C＝sin A＋sin

＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1

＝－22＋.

因为0＜A＜，所以0＜sin A＜，

因此＜－22＋≤.

由此可知sin A＋sin C的取值范围是.

　1.在钝角△ABC中 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin A，则sin A＋sin C的最大值为

(　　)

A.　　　 B.　　　

C.1　　　 D.

B　[∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－22＋，

∴sin A＋sin C的最大值为.]

2．在△ABC中，b＝，B＝60°，

(1)求△ABC周长l的范围；

(2)求△ABC面积最大值．

[解]　(1)l＝＋a＋c，

b2＝3＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac，

∴(a＋c)2－3ac＝3，

∵(a＋c)2－3＝3ac≤3×2，

∴a＋c≤2，

当仅仅当a＝c时，取“＝”，

又∵a＋c＞，∴2＜l≤3.

(2)∵b2＝3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，

∴ac≤3，

当且仅当a＝c时，取“＝”，

S△ABC＝acsin B≤×3×sin 60°＝，

∴△ABC面积最大值为.