2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第4章第6节正弦定理、余弦定理

第六节　正弦定理、余弦定理

[最新考纲]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

2．三角形常用面积公式

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A；

c＝bcos A＋acos B.

3．内角和公式的变形

(1)sin(A＋B)＝sin C；

(2)cos(A＋B)＝－cos C.

4．角平分线定理：

在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)

(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)

(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)

A．2　 B．1

C． D．

D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]

2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)

A．无解 B．两解

C．一解 D．解的个数不确定

B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12，

∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b.

∴此三角形有两解．]

3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．

等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，

所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]

4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于_____．

2　[因为＝，

所以sin B＝1，所以 B＝90°，

所以AB＝2，

所以S△ABC＝×2×2＝2.]

考点1　利用正、余弦定理解三角形问题

　解三角形的常见题型及求解方法

(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.

(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.

(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.

(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．

　(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别

为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)

A．6　 B．5

C．4 D．3

(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.

①求A；

②若a＋b＝2c，求sin C.

(1)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，

∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.

故选A.]

(2)[解]　①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得cos A＝＝.

因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.

②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.

由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，

故sin C＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°

＝.

　解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．

[教师备选例题]

(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

[解]　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，

可得bsin A＝asin B，

又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，

即sin B＝cos，可得tan B＝.

又因为B∈(0，π)，可得B＝.

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.

由bsin A＝acos，可得sin A＝.

因为a＜c，故cos A＝.

因此sin 2A＝2sin Acos A＝，

cos 2A＝2cos2A－1＝，

所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.

　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.

　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]

2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝，则BC＝________.

9　[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，

在△ADC中，72＝x2＋2－2x×cos α，①

在△ABD中，42＝x2＋2－2x×cos(π－α)，②

①＋②得x＝，∴BC＝9.]

3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.

(1)求边长a；

(2)求AB边上的高CD的长．

[解]　(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，

由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.

(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，

由三角形的面积公式得

absin∠ACB＝c×CD，

所以CD＝＝＝，

即AB边上的高CD＝.

法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，

由正弦定理得＝＝，

即sin A＝，

在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝，

即AB边上的高CD＝.

考点2　与三角形面积有关的问题

　三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

[解]　(1)由已知条件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)，或c＝4.

(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，

故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1，又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，

所以△ABD的面积为.

法二：由余弦定理得cos C＝，

在Rt△ACD中，cos C＝，

所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，

所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝.

法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝，

所以CD＝，所以AD＝，

所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.

　(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．

[教师备选例题]

已知△ABC的面积为3，AC＝2，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.

(1)求AB的长；

(2)求△ACD的面积．

[解]　(1)因为S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°，

又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，

在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝＝2.

(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，

所以∠CAD＝105°，

由正弦定理得＝，

所以CD＝3＋，

又∠ACD＝180°－150°＝30°，

所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝.

　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．

6　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.

法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.

(1)证明：A＝2B；

(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)

＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，

于是sin B＝sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，

所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，

因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.

(2)由S＝，得absin C＝，

故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，

由sin B≠0，得sin C＝cos B.

又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.

当B＋C＝时，A＝；

当C－B＝时，A＝.

综上，A＝或A＝.

考点3　判断三角形的形状

　判断三角形形状的2种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，

即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.

∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，

即A＝，∴△ABC为直角三角形．]

[母题探究]

1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．

[解]　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，

∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，

∴sin(A－B)＝0.

又A，B为△ABC的内角．

∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．

2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．

[解]　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，

又0＜C＜π，∴C＝，

又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，

故△ABC为等边三角形．

　在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．

　1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形 B．等腰非等边三角形

C．等边三角形 D．钝角三角形

C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]

2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是(　　)

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

C　[因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C.]