2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第2章第3节　函数的奇偶性与周期性

第三节　函数的奇偶性与周期性

[最新考纲]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．

(对应学生用书第16页)

1．奇函数、偶函数的概念

图像关于原点对称的函数叫作奇函数；

图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．

2．奇(偶)函数的性质

(1)对于函数f(x)，f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；

f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)．

(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．

(3)如果奇函数y＝f(x)在原点有定义，那么f(0)＝0.

3．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)为周期函数．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

(3)若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f(x)的一个周期．

1．函数奇偶性的三个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．周期性的几个常用结论

对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (　　)

(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点． (　　)

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．  (　　)

(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．               (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．下列函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝x2sin x　　 B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x| D．y＝2－x

B　[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]

2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.

－2　[f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]

3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.

1　[f＝f＝－4×＋2＝1.]

4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

(－2,0)∪(2,5]　[由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.

综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]

(对应学生用书第17页)

⊙考点1　判断函数的奇偶性

　判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

(2)图像法：函数是奇(偶)函数⇔函数图像关于原点(y轴)对称．

(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

(2)判断下列函数的奇偶性：

①f(x)＝＋；

②f(x)＝；

③f(x)＝

(1)C　[令F1(x)＝f(x)·g(x)，

则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)

＝－F1(x)，∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．

令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)

＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．

令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．

令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]

(2)[解]　①由

得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

从而f(x)＝＋＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，

∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，

∴f(x)＝.

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

∵当x＜0时，－x＞0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x＞0时，－x＜0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．

　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

　1.(2019·福州模拟)下列函数为偶函数的是(　　)

A．y＝tan　 B．y＝x2＋e|x|

C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x

B　[对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B.]

2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)

A．|f(x)|是偶函数

B．－f(x)是奇函数

C．f(x)|f(x)|是奇函数

D．f(|x|)f(x)是偶函数

D　[∵f(x)＝，

则f(－x)＝＝－f(x)．

∴f(x)是奇函数．

∵f(|－x|)＝f(|x|)，

∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]

⊙考点2　函数奇偶性的应用

　利用函数奇偶性可以解决以下问题

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式．由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．

(4)画函数图像：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像．

(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值．

　利用奇偶性求参数的值

　[一题多解]若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．

　[法一：(定义法)因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝.

法二：(特值法)因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数．]

　已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．

　利用函数的奇偶性求值

(1)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　　)

A．－   B.

C．2 D．－2

(2)[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.

(1)B　(2)－3　[(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－)＝f()，又当x＞0时，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f(－)＝.

(2)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，

∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，

则f(ln 2)＝e－aln 2＝8，

∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.

法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－e)＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.]

　利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值．

　求函数解析式

　(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1 B．e－x＋1

C．－e－x－1 D．－e－x＋1

D　[当x<0时，－x>0，

∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.

又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.

故选D.]

　先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．

　1.若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.

±1　[若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即＝－，

化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，

即k2－1＝0，解得k＝±1.]

2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．

3　[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，①

f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，②

由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.]

3．(2019·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.

0　[设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．

又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]

⊙考点3　函数的周期性及其应用

　函数周期性的判定与应用

(1)(2019·贵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝(　　)

A．5   B.

C．2 D．－2

(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．

(1)D　(2)　[(1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.

(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，

可知函数f(x)的周期是4，

所以f(15)＝f(－1)＝＝，

所以f(f(15))＝f＝cos ＝.]

　利用周期性将所求值转化到已知区间上的函数值．

　设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝

则f＝________.

　[由题意可得f＝f＝f＝4×－2＝，f＝.]