2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第1章第3节　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

第三节　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

[最新考纲]　1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

(对应学生用书第6页)

1．全称量词与全称命题

(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．

(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．

2．存在量词与特称命题

(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．

(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．

3．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

(2)p或q的否定：¬p且¬q；p且q的否定：¬p或¬q.

4．逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真即真．

(2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．

(3)¬p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题“3≥2”是真命题．  (　　)

(2)若命题p且q为假命题，则命题p，q都是假命题． (　　)

(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． (　　)

(4)“全等三角形的面积相等”是全称命题． (　　)

[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．命题“对任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．存在x0∈R，x＋x0≤0 

B．存在x0∈R，x＋x0＜0

C．对任意x∈R，x2＋x≤0 

D．对任意x∈R，x2＋x＜0

B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．存在x0∈R，lg x0＝1 B．存在x0∈R，sin x0＝0

C．对任意x∈R，x3＞0 D．对任意x∈R,2x＞0

C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，对任意x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]

3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p或q，p且q中真命题的个数为(　　)

A．1 B．2 

C．3　　　　 D．4

B　[p和q显然都是真命题，所以¬p，¬q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．]

4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．

存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]

(对应学生用书第7页)

⊙考点1　全称命题、特称命题

(1)全称命题与特称命题的否定

①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

②否定结论：对原命题的结论进行否定．

(2)全称命题与特称命题真假的判断方法

　全称命题、特称命题的否定

(1)(2019·西安模拟)命题“对任意x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．存在x＜0，≤0 B．存在x＞0,0≤x≤1

C．对任意x＞0，≤0 D．对任意x＜0,0≤x≤1

(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则¬p为(　　)

A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

B．对任意m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

D．对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0,0≤x≤1，故选B.

(2)由特称命题的否定可得¬p为“对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]

　全(特)称命题的否定方法：任意x∈M，p(x) 存在x0∈M，¬p(x0)，简记：改量词，否结论．

　全称命题、特称命题的真假判断

(1)下列命题中的假命题是(　　)

A．对任意x∈R，x2≥0

B．对任意x∈R,2x－1＞0

C．存在x0∈R，lg x0＜1

D．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

(2)下列四个命题：

p1：存在x0∈(0，＋∞)，＜；

p2：存在x0∈(0,1)，logx0＞logx0；

p3：对任意x∈(0，＋∞)，＞logx；

p4：对任意x∈，＜logx.

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3　　B．p1，p4  C．p2，p3　　D．p2，p4

(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．

(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有＞成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log ＝log＞log 成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图像，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝与对数函数y＝log x在上的图像可以判断p4是真命题．]

　因为命题p与¬p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

　1.命题“任意n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．对任意n∈N*，f(n)N*且f(n)＞n

B．对任意n∈N*，f(n)N*或f(n)＞n

C．存在n0∈N*，f(n0)N*且f(n0)＞n0

D．存在n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0

D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.]

2．已知命题p：存在x0∈，使得cos x0≤x0，则¬p为________，是________(填“真”或“假”)命题．

对任意x∈，都有cos x＞x　假　[¬p：对任意x∈，都有cos x＞x，此命题是假命题．]

⊙考点2　含有逻辑联结词的命题的真假判断

　判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤

(1)判断复合命题的结构；

(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；

(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可．

　[一题多解]记不等式组表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：对任意(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题

①p或q　②¬p或q　③p且¬q　④¬p且¬ q

这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)

A．①③   B．①②

C．②③   D．③④

A　[法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线y＝2x－z的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；

命题q：任意(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A.

法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．

∴①③真，②④假．故选A.]

　含逻辑联结词的命题真假的等价关系

(1)p或q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)且(¬q)假；

(2)p或q假⇔p，q均假⇔(¬p)且(¬q)真；

(3)p且q真⇔p，q均真⇔(¬p)或(¬q)假；

(4)p且q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)或(¬q)真；

(5)¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．

　1.(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)

A．p或q   B．p且q

C．q   D．¬p

B　[取x＝，y＝，可知命题p为假；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q为真，故¬p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．]

2．给定下列命题：

p1：函数y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上为增函数；

p2：存在a，b∈R，a2－ab＋b2＜0；

p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．

则下列命题中的真命题为(　　)

A．p1或p2   B．p2且p3

C．p1或(¬p3)   D．(¬p2)且p3

D　[对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝＋0＝1，f(－1)＝－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以(¬p2)且p3为真命题．]

⊙考点3　由命题的真假确定参数的取值范围

　根据命题真假求参数的方法步骤

(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

　根据命题的真假求参数取值范围的策略

(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．

(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．

　(2019·福建三校联考)若命题“存在x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[－，]　[命题“存在x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，

即“对任意x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，

故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.]