2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第四章第2节抛体运动

第2节　抛体运动

一、平抛运动

1．定义(条件)：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。

2．运动性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。

3．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

4．基本规律(如图所示)

(1)速度关系

(2)位移关系

(3)轨迹方程：y＝x2。

二、斜抛运动

1．定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。

2．研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。

斜抛运动问题多为斜上抛运动，可以在最高点分成两段处理，后半段为平抛运动，前半段的逆运动可以看成相等初速度的反向平抛运动。

[深化理解]

1．平抛运动的运动时间：t＝ ，取决于竖直下落的高度，与初速度无关。

2．平抛运动的水平射程：x＝v0，取决于竖直下落的高度和初速度。

3．平抛运动的速度的变化规律

(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0。

(2)任意相等时间Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。

4．平抛运动的位移的变化规律

(1)任意相等时间Δt内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。

(2)连续相等的时间Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。

[基础自测]

一、判断题

(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)

(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)

(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×)

(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)

(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。( √)

(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√)

(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√)

二、选择题

1． [人教版必修2 P10做一做改编] (多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的是(　　)

A．两球的质量应相等

B．两球应同时落地

C．应改变装置的高度，多次实验

D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动

解析：选BC　两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，D错误。

2．一物体从某高度以初速度v0水平抛出，落地时速度大小为v，重力加速度为g，则它运动的时间为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选D　落地时物体在竖直方向的速度vy＝，又vy＝gt，故物体下落的时间t＝＝，选项D正确。

3．(2016·江苏高考)有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)

A．①   B．②

C．③   D．④

解析：选A　两球的初速度的大小和方向均相同，同时抛出后均只受重力作用，加速度相同，故二者的运动轨迹一定相同，选项A正确。

高考对本节内容的考查，主要集中在平抛运动的特点和规律、应用运动的合成与分解的思想处理平抛运动问题，单独考查主要以选择题的形式呈现，难度一般。而平抛运动与圆周运动知识结合动能定理、机械能守恒定律进行综合命题，有选择题，也有计算题，难度中等偏上。

考点一　平抛运动的规律[基础自修类]

[题点全练]

1．[对平抛运动的理解]

关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是(　　)

A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动

B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变

C．平抛运动的速度大小是时刻变化的

D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小

解析：选B　做平抛运动的物体只受重力作用，故平抛运动是匀变速曲线运动，A说法正确；平抛运动是曲线运动，速度的方向时刻变化，即与恒力方向的夹角时刻改变，B说法错误；平抛运动是匀变速运动，速度大小时刻变化，C说法正确；设水平初速度为v0，速度方向与加速度方向(竖直方向)的夹角为θ，有tan θ＝，可知随着时间增加，夹角θ变小，D说法正确。本题选择说法不正确的，故B符合题意。

2．[利用运动的合成与分解分析平抛运动]

(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是(　　)

A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

解析：选C　发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误。由vy2＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误。由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确。由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误。

3．[平抛运动规律的应用]

(多选)一位同学玩投掷飞镖游戏时，将飞镖水平抛出后击中目标。当飞镖在飞行过程中速度的方向平行于抛出点与目标间的连线时，其大小为v。不考虑空气阻力，已知连线与水平面间的夹角为θ，则飞镖(　　)

A．初速度v0＝vcos θ

B．飞行时间t＝

C．飞行的水平距离x＝

D．飞行的竖直距离y＝

解析：选AC　根据运动的合成与分解知飞镖的初速度v0＝vcos θ，选项A正确；根据平抛运动的规律有x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，解得t＝，x＝，y＝，选项C正确，B、D错误。

[名师微点]

平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，处理此类问题的方法就是沿这两个方向进行运动分解，把曲线运动转化为两个直线运动，再根据直线运动的规律进行求解。

考点二　多体平抛运动问题[基础自修类]

[题点全练]

1．[两球平抛后空中相遇问题]

(2017·江苏高考)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)

A．t　　　　　　　　　 B.t

C.   D.

解析：选C　设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确。

2．[同一高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题]

(多选)如图所示，三个小球从同一高度处的O处分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的射影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5。若不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5

B．三个小球下落的时间相同

C．三个小球落地的速度相同

D．三个小球落地的位移相同

解析：选AB　三个小球的高度相等，则根据h＝gt2知，平抛运动的时间相等，因为水平位移之比为1∶3∶5，则根据x＝v0t得，初速度之比为1∶3∶5，故A、B正确；小球落地时竖直方向上的分速度相等，落地时的速度v＝，初速度不等，则落地的速度不等，故C错误；小球落地时的位移s＝，水平位移不等，竖直位移相等，则小球通过的位移不等，故D错误。

3．[同一高度平抛后落点在不同高度的多体平抛问题]

(多选)横截面为直角三角形的两个相同斜面体紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示，它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是(　　)

A．图中三个小球相比较，落在a点的小球运动时间最长

B．图中三个小球相比较，落在c点的小球初速度最大

C．图中三个小球相比较，落在c点的小球运动过程中速度变化最快

D．无论小球抛出时速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直

解析：选ABD　小球在竖直方向做自由落体运动，有h＝gt2，运动的时间为t＝ ，可知其运动时间是由竖直方向的位移决定的，由题图可知，落在a点的小球下落的高度最大，所以落在a点的小球运动的时间最长，A正确；落在c点的小球下落的高度最小，运动的时间最短，由于其水平位移最大，根据x＝v0t知，落在c点的小球初速度最大，B正确；三个小球都做平抛运动，加速度都等于重力加速度，所以速度变化的快慢是相同的，C错误；落在左侧斜面上的小球的速度不可能与斜面垂直，分析落在右侧斜面上的小球，其竖直速度是gt，水平速度是v0，斜面与水平方向的夹角是arctan 0.5，要使合速度垂直于斜面，需要满足v0＝gttan θ，即v0＝0.5gt，则经过t时间，竖直位移为0.5gt2，水平位移为v0t＝(0.5gt)t＝0.5gt2，即若要满足这个关系，水平位移和竖直位移需相等，由于落在右侧斜面上的小球的水平位移必定大于竖直位移，显然上述关系式不成立，则无论小球抛出时速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直，D正确。

[名师微点]

对多体平抛问题的四点提醒

(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。即轨迹相交是物体相遇的必要条件。

(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度。

(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同。

(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。

考点三　落点有约束条件的平抛运动[多维探究类]

考法(一)　落点在斜面上的平抛运动

[例1]　(多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)

A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ

B．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ

C．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1

D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1

[解析]　由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tan φ＝2tan θ，选项B正确，A错误；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，则由平抛运动的规律可得tan  θ＝，tan θ＝，故＝2tan2θ，选项C正确，D错误。

[答案]　BC

[题型技法]

考法(二)　落点在竖直面上的平抛运动

[例2]　(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示。已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)

A．初速度之比是∶∶

B．初速度之比是1∶∶

C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶

D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶

[解析]　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动。又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误。

[答案]　AC

[题型技法]

如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝，注意t并不相等。

考法(三)　落点在圆弧面上的平抛运动

[例3]　如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

[解析]　设圆弧的半径为R，依平抛运动规律得x1＝v1t1，x2＝v2t2，

联立得＝＝＝。

时间由竖直方向做自由落体运动来比较，y1＝gt12，

y2＝gt22，

由两式相比得＝，其中y1＝R，y2＝R，

则有＝ ，代入速度公式得＝，C项正确。

[答案]　C

[题型技法]

落点在圆弧面上的三种常见情景

(1)如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。

(2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。

(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。

考法(四)　落点在水平台阶上的平抛运动

[例4]　一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m。一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四级台阶上，则v的取值范围是(　　)

A. m/s <v≤2 m/s

B．2 m/s <v≤3.5  m/s

C. m/s<v< m/s

D．2 m/s<v< m/s

[解析]　若小球打在第四级台阶的边缘上，下降高度h＝4d，根据h＝gt12，得t1＝ ＝  s＝ s，

水平位移x1＝4d，则平抛的最大速度v1＝＝  m/s＝2 m/s；若小球打在第三级台阶的边缘上，下降高度h＝3d，根据h＝gt22，得t2＝ ＝ s，水平位移x2＝3d，则平抛运动的最小速度v2＝＝ m/s＝ m/s，所以速度范围： m/s<v≤2 m/s，故A正确。

[答案]　A

[共性归纳]

对于此类题目，无论落点怎样变化，其题根均为平抛运动规律的应用，解题的关键是把约束界面的几何关系与平抛运动规律相互结合起来。

“STS问题”巧迁移——体育运动中的平抛运动

(一)乒乓球的平抛运动问题

1．(多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示。不计乒乓球的旋转和空气阻力。乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率

B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率

C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间

D．过网时球1的速度大于球2的速度

解析：选AD　乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝gt2可得两球飞行时间相同，C错误；由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D正确。

(二)足球的平抛运动问题

2．(2015·浙江高考)如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　)

A．足球位移的大小x＝

B．足球初速度的大小v0＝

C．足球末速度的大小v＝

D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝

解析：选B　根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝ ，则足球位移的大小为：x＝ ＝ ，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝ ，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝mv2－mv02，可得足球末速度v＝ ＝ ，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误。

(三)网球的平抛运动问题

3．一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只球落在自己一方场地的B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示，第二只球直接擦网而过，也落在A点处。设球与地面的碰撞过程没有能量损失，且运动过程不计空气阻力。两只球飞过球网C处时水平速度之比为(　　)

A．1∶1　　　　　　　　　 B．1∶3

C．3∶1   D．1∶9

解析：选B　由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的。由于球与地面的碰撞没有能量损失，设第一只球自击出到落到A点时间为t1，第二只球自击出到落到A点时间为t2，则t1＝3t2。

由于两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从O点出发时的初速度分别为v1、v2，由x＝v0t得：v2＝3v1，所以有＝，所以两只球飞过球网C处时水平速度之比为1∶3，故B正确。

(四)排球的平抛运动问题

4．如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　)

A．H＝h　　　　　　 B．H＝

C．H＝h   D．H＝h

解析：选C　将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有：

H－h＝gt12，H＝gt22

＝v0t1，＋＝v0t2

联立解得H＝h

故C正确。

[反思领悟]

在解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。