(新高考)高考物理一轮复习讲义 第4章 第2讲 抛体运动（含解析）

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第2讲　抛体运动

一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4.基本规律
如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．

图1
(1)位移关系

(2)速度关系

判断正误　(1)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．
(　×　)
(2)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．(　×　)
(3)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．(　×　)
(4)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．(　√　)
(5)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．(　√　)
自测1　一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　)
A. B. C. D.
答案　C
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)

图2
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
自测2　有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)

图3
A．① B．②
C．③ D．④
答案　A
解析　物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小球的初速度相同，则运动轨迹相同，故A项正确.


1．飞行时间
由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．

图4
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝.

图5
推导：
→xB＝
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：
→tan θ＝2tan α
例1　(2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案　C
解析　由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及v＝2gh可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C正确．
变式1　(2019·陕西汉中市下学期模拟)如图6所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)

图6
A．a和b的初速度大小之比为∶1
B．a和b在空中运动的时间之比为2∶1
C．a和c在空中运动的时间之比为∶1
D．a和c的初速度大小之比为2∶1
答案　C
解析　根据t＝可知a和b在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和b的初速度大小之比为1∶，选项A、B错误．根据t＝可知a和c在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和c的初速度大小之比为∶1，选项C正确，D错误．
拓展点　实验：研究平抛运动规律

例2　(2019·云南玉溪一中第五次调研)三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：


图7
(1)甲同学采用如图7甲所示的装置．用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地，改变小锤打击的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明：____________________________________________
________________________________________________________________.
(2)乙同学采用如图乙所示的装置．两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看作与光滑的水平板相切(水平板足够长)，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC＝BD，从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相等．现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出．实验可观察到的现象是：_______________________
________________________________________________________________________.
仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象．
(3)丙同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片，图中每个小方格的边长为L＝2.5 cm，则由图可求得该小球做平抛运动的初速度大小为________ m/s.(保留两位有效数字，g取10 m/s2)
答案　(1)做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动　(2)P球击中Q球　(3)1.0
解析　(1)在打击金属片时，两小球同时分别做平抛运动与自由落体运动．结果同时落地，则说明做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动．
(2)两球在水平方向的运动是相同的，则在相同的时间内水平位移相同，则实验可观察到的现象是：P球击中Q球；
(3)平抛运动可分解为竖直方向自由落体运动与水平方向匀速直线运动；
在竖直方向：由Δh＝gt2可得：t＝＝ s＝0.05 s
水平方向：由x＝v0t得：v0＝＝ m/s＝1.0 m/s.

模型1　对着竖直墙壁平抛

如图8所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.

图8

例3　(2019·安徽淮南市第二次模拟)如图9所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是(　　)

图9
A．v1>v2 B．v1 C．t1>t2 D．t1＝t2
答案　A
解析　小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据t＝可知，t1x2，则v1>v2，故选A.
变式2　(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图10所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)

图10
A．初速度大小之比是∶∶
B．初速度大小之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
答案　AC
解析　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误．
模型2　斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图11)

图11
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图12)

图12
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
例4　(2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
答案　A
解析　如图所示，可知：

x＝vt，
x·tan θ＝gt2
则vy＝gt＝2tan θ·v
则落至斜面的速率v落＝＝v，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.
变式3　(2019·湖南永州市第二次模拟)如图13所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处．今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　)

图13
A．ta＝tb B．ta＝3tb
C．va＝vb D．va＝vb
答案　C
解析　a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝gt2可知，t＝，则a、b两球运动的时间关系为ta＝tb，故A、B错误；因为a、b两球水平位移之比为3∶2，由v0＝得：va＝vb，故C正确，D错误．
模型3　半圆内的平抛问题

如图14所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：

图14
h＝gt2，
R±＝v0t，
联立两方程可求t.
例5　(2019·四川宜宾市第二次诊断)如图15所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则(　　)

图15
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1
答案　B
解析　由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，A选项错误；设圆弧形槽半径为R，对A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝ ，则v1＝R＝ ，
对C点抛出的小球，Rsin 60°＝v2tC，tC＝＝，则v2＝＝ ，v1∶v2＝∶3，B选项正确；
设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝
由v1∶v2＝∶3
vy1∶vy2＝tA∶tC＝∶1
tan θ1≠tan θ2，C选项错误；
设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝＝，vC＝＝，则vA∶vC＝∶，D选项错误．

例6　(2020·福建泉州市第一次质量检查)某游戏装置如图16所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上(　　)

图16
A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关
B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关
C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关
D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关
答案　C
解析　根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可能沿OP方向从P点射出，故A错误；如图所示，

根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可得：EN＝R(1＋cos α)，则竖直位移PN＝EN·tan α＝R(1＋cos α)tan α，弹射器离B点的高度为y＝PN－Rsin α＝R(tan α－sin α)，所以只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D错误，C正确．
变式4　(2019·福建莆田市5月第二次质检)如图17，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　　)

图17
A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
答案　B
解析　设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，根据h＝gt2，可得平抛运动的时间为：t＝，则水平位移为：x＝v0t＝v0.增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故A错误．减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能会抛进小桶中，故B正确．保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故C错误．保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误．


1．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是(　　)

答案　C
解析　小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的方向竖直向下，C正确．
2．在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)(　　)
A.s B.s
C.s D.s
答案　C
解析　设战机原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知炮弹在竖直方向有：h＝gt2，解得：t＝，则在水平方向：s＝vt＝v，现战机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则应有s′＝vt′，h＝gt′2，联立解得：s′＝s，故C正确，A、B、D错误．
3.为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图1，若sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为(　　)

图1
A．h＝170 m　v＝30 m/s
B．h＝135 m　v＝40 m/s
C．h＝80 m　v＝30 m/s
D．h＝45 m　v＝40 m/s
答案　A
解析　根据速度的分解有：tan θ＝＝，x＝cos 37°＝vt，联立解得t＝4 s，v＝30 m/s；则炸弹竖直位移为y＝gt2＝80 m，故无人机距A点的高度h＝y＋sin θ＝170 m，故选A.
4.(2020·山西晋城市模拟)如图2所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不计空气阻力)(　　)

图2
A. m B. m C. m D. m
答案　D
解析　设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x，则有＝，解得：x＝ m，故选D.
5.如图3，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 (　　)

图3
A．tan α B．cos α
C．tan α D．cos α
答案　C
解析　设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2.对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt，解四式可得：＝tan α，C正确．
6．(2019·河南省八市重点高中联盟第三次模拟)如图4所示，小球从斜面的顶端A处以大小为v0的初速度水平抛出，恰好落到斜面底部的B点，且此时的速度大小vB＝v0，空气阻力不计，该斜面的倾角为(　　)

图4
A．60° B．45° C．37° D．30°
答案　B
解析　根据平行四边形定则知，小球落到底端时竖直分速度为：vy＝＝2v0，
则运动的时间为：t＝＝，
设斜面的倾角为θ，则有tan θ＝＝＝1，
解得θ＝45°，B正确．
7．(2019·河南洛阳市期末调研)如图5所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)

图5
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶2 D．2∶3
答案　C
解析　小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球：
x＝v1t①
y＝gt2②
又tan 30°＝③
联立①②③得：v1＝gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有：tan 30°＝＝⑤
则得：v2＝gt⑥
由④⑥得：v1∶v2＝3∶2，所以C正确．

8.(多选)(2019·山东日照市上学期期末)如图6，在斜面顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有小球均落在斜面上．忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)

图6
A．所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等
B．小球的运动时间与初速度的平方成正比
C．所有小球落到斜面上时的速度方向都相同
D．小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半
答案　AC
解析　所有小球都落在斜面上，所以所有小球的位移方向相同，设斜面的倾角为θ，所有小球的竖直位移与水平位移之比都等于tan θ，故A正确；小球水平方向做匀速直线运动：x＝v0t，竖直方向做自由落体运动：y＝gt2，所以＝＝tan θ，解得：t＝，故B错误；平抛运动在某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于所有小球的位移方向相同，所以所有小球落到斜面上时的速度方向都相同，故C正确；小球在竖直方向的总位移为y＝gt2＝g()2＝，小球从抛出到离斜面最远时，速度方向与斜面平行，此时竖直方向的速度vy＝v0tan θ，位移为y′＝＝，所以小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的，故D错误．
9.(多选)(2020·河北秦皇岛市联考)如图7，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时两球的速度互相垂直．若不计空气阻力，则(　　)

图7
A．小球a比小球b先抛出
B．初速度va小于vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb∶va
D．初速度va大于vb
答案　AB
解析　h＝gt2，所以t＝，平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于小球a的高度比小球b的大，所以 ta＞tb，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝v0t得
va＜vb，故A、B正确，D错误．h＝gt2＝g，故小球a、b抛出点距地面高度之比为＝，C错误．
10．在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，竖直杆上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图8所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

图8
A．三个小球落地时间差与车速有关
B．三个小球落地点的间隔距离L1＝L2
C．三个小球落地点的间隔距离L1 D．三个小球落地点的间隔距离L1>L2
答案　C
解析　平抛运动中，落地时间只与下落的高度有关，故A项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t＝可得下落时间之比为tA∶tB∶tC＝∶∶1，由于三个小球初速度相同，故水平位移之比xA∶xB∶xC＝∶∶1，则L1∶L2＝(－)∶(－1)，故L1