2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题十　直线与圆

重点增分专题十　直线与圆

[全国卷3年考情分析]

(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．

(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．

    保分考点·练后讲评

1.已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)

A．1或3　　　　　　　 　B．1或5

C．3或5   D．1或2

解析：选C　当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须满足≠(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．

2．[两直线垂直]已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是(　　)

A．24   B．20

C．0   D．－4

解析：选B　∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，

∴×＝－1，∴m＝10.

直线mx＋4y－2＝0，即5x＋2y－1＝0，

将垂足(1，p)代入，得5＋2p－1＝0，∴p＝－2.

把P(1，－2)代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，

∴m－n＋p＝20，故选B.

3.坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.

4.已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________________．

解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1,2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0,4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

答案：y＝2或4x－3y＋2＝0

[解题方略]

1．两直线的位置关系问题的解题策略

求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．

2．轴对称问题的两种类型及求解方法

    保分考点·练后讲评

[大稳定]

1.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)　　　　　　  B.

C．(－2,0)   D.

解析：选D　若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2<a<.

2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________．

解析：设C(a,0)(a>0)，由题意知＝，解得a＝2，所以r＝ ＝3，故圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.

答案：(x－2)2＋y2＝9

[解题方略]　求圆的方程的2种方法

[小创新]

1.已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为(　　)

A.   B.

C.   D．2

解析：选C　圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圆心M(1,0)，则|OM|＝1，圆的半径r＝，因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为，故选C.

2.向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．

解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×π×2－×2×＝π－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝＝－.

答案：－

    增分考点·广度拓展

[分点研究]

题型一　圆的切线问题

[例1]　(1)(2019届高三·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.

(2)设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBMC面积的最小值为________．

[解析]　(1)由题意得，直线l的斜率存在，设过点M(1,1)的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.因为直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l的距离d＝＝，整理得k2－4k＋4＝0，解得k＝2.又直线l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以－2a＝－1，解得a＝.

(2)圆心O到直线3x＋4y＝25的距离d＝＝5，

则|OM|≥d＝5，

所以切线长|MB|＝≥ ＝，

所以S四边形OBMC＝2S△OBM≥2×××＝.

[答案]　(1)　(2)

[变式1]　本例(2)变为：过点A(1,3)，作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBAC的面积为________．

解析：由相切可得S四边形OBAC＝2S△OBA，

因为△OAB为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝，

所以|AB|＝2，

即S△OBA＝×2×＝2，

所以S四边形OBAC＝2S△OBA＝4.

答案：4

[变式2]　本例(2)变为：设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线l1，l2，则l1与l2的最大夹角的正切值是________．

解析：设一个切点为B，圆心O到直线3x＋4y＝25的距离为d＝＝5，

则tan∠OMB＝≤，

所以tan 2∠OAB＝

＝≤.

故所求最大夹角的正切值为.

答案：

[解题方略]　直线与圆相切问题的解题策略

直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．

题型二　圆的弦长问题

[例2]　已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．

(1)求圆C的方程；

(2)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

[解]　(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，

即＝ ＝r，

解得a＝0，r＝2，

故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.

因为直线l，l1都经过点(0,1)，且l1⊥l，

根据勾股定理，有d＋d2＝1.

又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，

所以S＝|PQ|·|MN|，

即S＝×2××2×

＝2

＝2≤2

＝2＝7，

当且仅当d1＝d时，等号成立，

所以四边形PMQN面积的最大值为7.

[解题方略]　求解圆的弦长的3种方法

[多练强化]

1．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.

∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，

∴|AB|＝2＝2＝2.

答案：2

2．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________．

解析：直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，

由R2＝d2＋2，得1＝＋，

解得k＝2或，

故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.

答案：y＝2x＋1或y＝x＋1

3．已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为________．

解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，则解得

故当|PM|取最小值时点P的坐标为.

答案：

数学建模——直线与圆最值问题的求解

[典例]　已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(　　)

A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0

B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0

C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0

D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

[解析]　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P(2，)，Q(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线l的距离d＝，所以|PQ|＝2，S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝ ≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值，因为2＜，所以S△OPQ的最大值为，此时＝，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0，故选D.

[答案]　D

[素养通路]

本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题．考查了数学建模这一核心素养．

A组——“6＋3＋3”考点落实练

一、选择题

1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)

A．充要条件　　　　 　　  　B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选C　因为两直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.

2．已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)

A．(3，)   B．(2，)

C．(1，)   D.

解析：选C　直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．

3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切   B．相交

C．外切   D．相离

解析：选B　圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．

4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]   B．[4,8]

C．[，3]   D．[2，3]

解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，

则圆心C(2,0)，r＝，

所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，

可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.

由已知条件可得|AB|＝2，

所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，

△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.

综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．

5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－3，3)

B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

C．(－2，2)

D．[－3，3 ]

解析：选A　由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝＝<3，解得a∈(－3，3)．

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为(　　)

A．－2   B．－1

C．0   D．1

解析：选C　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.

法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0,0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.

二、填空题

7．已知直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，则m＝________.

解析：因为圆C：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝± .

答案：±

8．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．

解析：以OC为直径的圆的方程为2＋(y－2)2＝2，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－＝5－，化简得3x＋4y－5＝0，所以C到直线AB的距离d＝＝4.

答案：4

9．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，则实数a＝________.

解析：直线l的方程可变形为y＝ax＋4，所以直线l过定点(0,4)，且该点在圆M上．圆的方程可变形为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为M(0，2)，半径为2.如图，因为∠AMB＝，所以△AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以＝，解得a＝±.

答案：±

三、解答题

10．已知圆(x－1)2＋y2＝25，直线ax－y＋5＝0与圆相交于不同的两点A，B.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(－2,4)，求实数a的值．

解：(1)把直线ax－y＋5＝0代入圆的方程，

消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，

由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，

故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0，

即12a2－5a>0，解得a>或a<0，

所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪.

(2)由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB的斜率为a，

则直线l的斜率为－，

所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，

即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB，

故圆心M(1,0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0，

解得a＝，由于∈，

所以a＝.

11．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．

解：(1)设圆A的半径为R.

因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

所以R＝＝2.

所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，

设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.

由于|MN|＝2，于是2＋()2＝20，解得k＝，

此时，直线l的方程为3x－4y＋6＝0.

所以所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.

12．在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.

(1)求圆O的方程；

(2)若直线l与圆O相切于第一象限，且直线l与坐标轴交于点D，E，当线段DE的长度最小时，求直线l的方程．

解：(1)因为点O到直线x－y＋1＝0的距离为，

所以圆O的半径为 ＝，

故圆O的方程为x2＋y2＝2.

(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，

由直线l与圆O相切，得＝，即＋＝，则|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

B组——大题专攻补短练

1．已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．

(1)求曲线E的方程；

(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．

解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，

由题意得 ＝·，

整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．

(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．

设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.

设直线CD：y＝－x＋t，

由解得点P，

由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝ ，

而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3，

|EP|2＝2，

所以2＋2＝3－，整理得t2－3t＝0，

解得t＝0或t＝3，

所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.

2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，

所以解方程组得圆心C(3,2)，

又因为圆的半径为1，

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，

又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，

设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，

所以＝1，解得k＝0或k＝－，

所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，

即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，

所以设圆心C为(a,2a－4)，

又因为圆C的半径为1，

则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.

设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有

＝2，

整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，

所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，

所以2－1≤ ≤2＋1，

解得0≤a≤，

所以圆心C的横坐标a的取值范围为.

3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.

又C的坐标为(0,1)，

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况．

(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，

可得BC的中垂线方程为y－＝x2.

由(1)可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－.

联立可得

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.

故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

4．(2018·广州高中综合测试)已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．

解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，

因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|，

所以 ＝·.

整理得，x2＋y2＝2.

所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.

(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b.

由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)

由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.①

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.②

由k1·k2＝·＝·＝3，

得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，

即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③

将②代入③，整理得b2＝3－k2.④

由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤

由①和④，解得k<－或k>.⑥

要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，

所以0不是方程(*)的根，

所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦

由⑤⑥⑦，得k的取值范围为

[－，－1)∪∪∪(1， ]．