2020届高考数学二轮教师用书：第二章第12节　利用导数研究函数的极值、最值

第12节　利用导数研究函数的极值、最值

1．函数极值的概念

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是　极大值　；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是　极小值　.

2．求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)求导函数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)列表，检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的函数值的符号，如果　左正右负　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果　左负右正　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点；

(4)得极值，由表得极大值与极小值．

3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　.

(2)将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值．

4．利用导数求解实际问题中的优化问题

生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．

利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：

(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可．

(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质．

(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．

1.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．

4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　 )

(2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　 )

(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　 )

(4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　 )

(5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　 )

(6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　 )

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×

[小题查验]

1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　 )

A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1

C．x＝1或－1或0  D．x＝0

解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3，

∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0得

x＝0或x＝1或x＝－1.

又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，

∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．]

2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　 )

A．1，－3  B．1,3

C．－1,3  D．－1，－3

解析：A　[∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.①

又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.②

联立①②解得]

3．函数y＝xex的最小值是(　　 )

A．－1  B．－e

C．－  D．不存在

解析：C　[y′＝ex＋x·ex，

令y′＝0，则x＝－1，

∵x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，

∴x＝－1是函数的唯一极小值点，即为最小值点，

∴x＝－1时，ymin＝－，故选C.]

4．(教材改编)函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的最小值为　________　.

答案：－

5．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为　________　 cm3.

解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.

则y＝(10－2x)(16－2x)x

＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)，

∴y′＝12x2－104x＋160.

令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)，

∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．

答案： 144

考点一　利用导数研究函数的极值(多维探究)

[命题角度1]　由函数图象判断其极值情况　

1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　 )

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

解析：D　[由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]

[命题角度2]　利用导数求函数的极值　

2．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为(　　)

A．2　　　　　 B．2ln 2－2

C．e  D．2－e

解析：B　[函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2ln x－x，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝2.当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2.]

运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤

(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．

易错警示：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

[命题角度3]　已知极值求参数的取值　

3．若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为　________　.

解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋＝，由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a≤0，所以a∈(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1]

已知函数极值点或极值求参数的两个要领

1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解。

2．验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性。

考点二　利用导数研究函数的最值(师生共研)

数学运算——利用导数法求最值中的数学素养

利用导数法求解函数最值应该注意两个方面的问题：一是函数的定义域，函数与其导函数的定义域可能不一致；二是确定函数在某个区间上的最值时，注意极值与最值的区别．

[典例]　(2020·贵阳检测)已知函数f(x)＝－ln x.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．

[解析]　(1)f(x)＝－ln x＝1－－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．

所以f′(x)＝－＝，

由f′(x)>0，得0<x<1，由f′(x)<0，得x>1，

所以f(x)＝1－－ln x的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，

所以f(x)在上的最大值为f(1)＝1－1－ln1＝0.

又f＝1－e－ln＝2－e，f(e)＝1－－lne＝

－，且f<f(e)．

所以f(x)在上的最小值为f＝2－e.

综上所述，f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e.

求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，首先可判断函数在[a，b]上的单调性，若函数在[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值．若函数在[a，b]上不单调，一般先求[a，b]上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值．

易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．

[跟踪训练]

已知函数f(x)＝(x－k)ex，

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增．

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.

当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，

f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.

考点三　利用导数研究生活中的优化问题(师生共研)

[典例]　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

[解析]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．由h＞0，且r＞0可得0＜r＜5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．

(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大。

利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)．

(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.

(3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点．

(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．

[跟踪训练]

(2019·绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.

(2)由(1)可知，

该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2.

所以商场每日销售该商品所获得的利润

为f(x)＝(x－3)

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.

从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可得，x＝4时，函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

1．(2020·沈阳市一模)设函数f(x)＝xex＋1，则(　　 )

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

解析：D　[由于f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，

令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1，

令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数

令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数

所以x＝－1为f(x)的极小值点．]

2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)

A.　　　　　　 B．1

C．0  D．不存在

解析：A　[f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝.]

3．(2020·银川市三模)已知函数f(x)＝cos x＋aln x在x＝处取得极值，则a＝(　　 )

A.  B.

C.  D．－

解析：C　[∵f(x)＝cos x＋aln x，

∴f′(x)＝－sin x＋.

∵f(x)在x＝处取得极值，∴f′＝－＋＝0，解得a＝，经检验符合题意，故选C.]

4．若关于x的不等式x3－3x＋3－－a≤0有解，其中x≥－2，则实数a的最小值为(　　 )

A．1－  B．2－

C.－1  D．1＋2e2

解析：A　[化简可得a≥x3－3x＋3－，

设f(x)＝x3－3x＋3－，

∴f′(x)＝3x2－3－＝(x－1)(3x＋3＋e－x)．

可证3x＋3＋e－x>0恒成立．

令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．

所以fmin(x)＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选A.]

5．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为　________　.

解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，

⇒

所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，

则x＝0或x＝2.

所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.

答案：4

6．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　________　.

解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2<a<2时恰有三个不同的公共点．

答案：(－2,2)

7．某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为　________　万件时总利润最大．

解析：设单价为a，由题意知a2＝且502＝，

∴k＝502×100＝25×104，∴a2＝，

即a＝，

总利润y＝a·x－C(x)＝·x－＝500－x3－1 200，

y′＝250x－－x2，令y′＝0得x＝25，∴产量定为25万件时总利润最大．

答案：25

8．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为　______　.

解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.

∴f′(x)＝－ax＋a－1＝

＝.

①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以x＝1是f(x)的极大值点．

②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.

因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.

答案：a>－1

9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.

又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，

得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.

(2)f′(x)＝1－，

①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．

②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.

x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，

且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，

无极大值．

10．已知函数f(x)＝ln x＋.

(1)求f(x)的最小值；

(2)若函数F(x)＝f(x)＋ax在区间[2，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．

解： (1)由题意可知x＞0，且f′(x)＝，

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，

故f(x)min＝f(1)＝1.

(2)由F′(x)＝－＋a＝，

当a＝0时，F′(x)＝＞0，

F(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，符合题意，

当a＜0时，令g(x)＝ax2＋x－1，此时F(x)在[2，＋∞)上只能是单调递减，

故F′(x)≤0，即ax2＋x－1≤0，a≤－，∴a≤min，解得a≤－.

当a＞0时，F(x)在[2，＋∞)上只能是单调递增，

故F′(x)≥0，即ax2＋x－1≥0，a≥－，

得a≥－，故a＞0.

综上a∈∪[0，＋∞)．