2021版高考数学苏教版一轮教师用书：3.3利用导数解决函数的极值、最值

第三节　利用导数解决函数的极值、最值

［最新考纲］　1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

1.函数的极值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.

2.函数的最值

(1)在闭区间［a，b］上连续的函数f(x)在［a，b］上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在［a，b］上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在［a，b］上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点.

2.若函数在闭区间［a，b］的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的极大值不一定比极小值大. (　　)

(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.

  (　　)

(3)函数的极大值一定是函数的最大值. (　　)

(4)开区间上的单调连续函数无最值.      (　　)

［答案］　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)

A.无极大值点、有四个极小值点

B.有三个极大值点、一个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点

D.有四个极大值点、无极小值点

C　［设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.

当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，

当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.］

2.设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)

A.x＝为f(x)的极大值点

B.x＝为f(x)的极小值点

C.x＝2为f(x)的极大值点

D.x＝2为f(x)的极小值点

D　［f′(x)＝－＋＝(x＞0)，

当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，

所以x＝2为f(x)的极小值点.］

3.函数y＝xex的最小值是　　　　.

－　［因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x＞－1时，y′＞0；当x＜－1时，y′＜0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－.］

4.函数f(x)＝x－aln x(a＞0)的极小值为　　　　.

a－aln a　［因为f(x)＝x－aln x(a＞0)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－(a＞0)，

由f′(x)＝0，解得x＝a.当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a.］

考点1　利用导数解决函数的极值问题

　利用导数研究函数极值问题的一般流程

　根据函数图象判断函数极值的情况

　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

D　［由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.］

　可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.

　求已知函数的极值

　已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况.

［解］　∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)

＝(x－1)(ex－2a)，∵a＞0，

由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a.

①当a＝时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，

∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值.

②当0＜a＜时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)有极大值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.

③当a＞时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)有极大值f(1)＝a－e，

极小值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2.

综上，当0＜a＜时，f(x)有极大值－a(ln 2a－2)2，极小值a－e；

当a＝时，f(x)无极值；

当a＞时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln 2a－2)2.

　求函数极值的一般步骤

(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数.

(2)求f′(x)＝0的根.

(3)判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点.

(4)求出具体极值.

［教师备选例题］

设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.

［解］　f′(x)＝＋a(2x－1)

＝(x＞－1).

令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞).

①当a＝0时，g(x)＝1，

此时f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点.

②当a＞0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8).

a.当0＜a≤时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0.

函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点.

b.当a＞时，Δ＞0，

设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，

因为x1＋x2＝－，所以x1＜－，x2＞－.

由g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－.

所以当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；

当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增.

因此函数有两个极值点.

③当a＜0时，Δ＞0，由g(－1)＝1＞0，

可得x1＜－1＜x2.

当x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.

　所以函数有一个极值点.　

综上所述，当a＜0时，函数f(x)有一个极值点；

当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；

当a＞时，函数f(x)有两个极值点.

　已知函数极值求参数的值或范围

　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝　　　　.

(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是　　　　.

(1)－7　(2)　［(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则

解得或

经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，

而a＝2，b＝9满足题意，

故a－b＝－7.

(2)函数f(x)在区间上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根且在内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得a＜－2或a＞2.

由f′(x)＝0在内有根，得a＝x＋在内有解，又x＋∈2，，所以2≤a＜，

综上，a的取值范围是.］

　已知函数极值点或极值求参数的2个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

［教师备选例题］

若函数f(x)＝ex－aln x＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为(　　)

A.(－e2，－e)　　 B.

C.   D.(－∞，－e)

D　［∵f′(x)＝ex－＋2a，(x＞0)

∴由f′(x)＝0得a＝.

　令g(x)＝(x＞0).

由题意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有两个零点.

又g′(x)＝－(x＞0)，

由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠.

由g′(x)＜0得x＞1.

∴函数g(x)在，上递增，在(1，＋∞)上递减.

又g(0)＝0，g(1)＝－e，

结合图形(图略)可知a∈(－∞，－e)，故选D.］

1.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)

A.－1　　　　　　　　 B.－2e－3

C.5e－3   D.1

A　［因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝［x2＋(a＋2)x＋a－1］ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞1，令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.］

2.已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为(　　)

A.6   B.2

C.2或6   D.0

B　［由f′(2)＝0可得c＝2或6.当c＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x＝2处取得极大值.故选B.］

3.(2019·长春市质量监测)若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2］   B.(－∞，－2)

C.(－∞，－3］   D.(－∞，－3)

C　［f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝［x2＋(a＋2)x＋a＋3］ex，令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3.由题意知，g(x)在(0，＋∞)内先减后增或先增后减，结合函数g(x)的图象特征知，或解得a≤－3.故选C.］

考点2　用导数求函数的最值

　求函数f(x)在［a，b］上的最大值、最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值.

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b).

(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.

　(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间［0,1］的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.

［解］　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.

若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减.

若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.

若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减.

(2)满足题设条件的a，b存在.

(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在［0,1］单调递增，所以f(x)在区间［0,1］的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.

(ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在［0,1］单调递减，所以f(x)在区间［0,1］的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.

(ⅲ)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在［0,1］的最小值为f＝－＋b，

最大值为b或2－a＋b.

若－＋b＝－1，b＝1，

则a＝3，

与0＜a＜3矛盾.

若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，

则a＝3或a＝－3或a＝0，

与0＜a＜3矛盾.

综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在［0,1］的最小值为－1，最大值为1.

　(1)讨论函数的单调性时，一要注意函数的定义域；二要注意分类的标准，做到不重不漏.

(2)对于探索性问题，求出参数值后要注意检验.

［教师备选例题］

已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a＞0时，求函数f(x)在［1,2］上的最小值.

［解］　(1)f′(x)＝－a(x＞0)，

①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).

②当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，

当0＜x＜时，f′(x)＝＞0；

当x＞时，f′(x)＝＜0，

故函数f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为.

综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为.

(2)①当0＜≤1，

即a≥1时，函数f(x)在区间［1,2］上是减函数，

所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.

②当≥2，即0＜a≤时，函数f(x)在区间［1,2］上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.

③当1＜＜2，

即＜a＜1时，

函数f(x)在上是增函数，在上是减函数.

又f(2)－f(1)＝ln 2－a，

所以当＜a＜ln 2时，最小值是f(1)＝－a；

当ln 2≤a＜1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.

综上可知，

当0＜a＜ln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；

当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.

　(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝＋kln x，k＜，求函数f(x)在上的最大值和最小值.

［解］　f′(x)＝＋＝.

①若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)＜0，

所以f(x)在上单调递减.

②若k≠0，则f′(x)＝＝.

(ⅰ)若k＜0，则在上恒有＜0.

所以f(x)在上单调递减，

(ⅱ)若k＞0，由k＜，

得＞e，则x－＜0在上恒成立，

所以＜0，

所以f(x)在上单调递减.

综上，当k＜时，f(x)在上单调递减，

所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.

考点3　利用导数研究生活中的优化问题

　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.

(4)回归实际问题，结合实际问题作答.

　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

［解］　(1)因为当x＝5时，y＝11，

所以＋10＝11，解得a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为

y＝＋10(x－6)2.

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)＝(x－3)

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.

则f′(x)＝10［(x－6)2＋2(x－3)(x－6)］

＝30(x－4)(x－6).

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可得，当x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值.

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

　(1)利用导数研究生活中的优化问题的关键：理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.

(2)注意：函数的定义域由实际问题确定，最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.

　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域.

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.

［解］　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3).

由h＞0，且r＞0可得0＜r＜5，

故函数V(r)的定义域为(0,5).

(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2).令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).

当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，

故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数.

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.