《概率与统计》专项练习

备考训练12　概率与统计——大题备考

1．某市司法局与公安局两个单位联合举行法律知识竞赛，每个单位各选三名成员，分别组成红队与蓝队，比赛中每人随机在题库中抽取一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知两队队员训练情况如表所示．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示红队的总得分．

(1)不妨以频率作为概率，求E(X)；

(2)在第(1)问的基础上，若红队与蓝队得分之和不低于5分，则两队就能够获得“团队合作奖”，估计他们获得该奖的概率．

2．[2020·山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中联考]随着科技的发展，网购已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在某市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，得到如下所示的统计表．

(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购情况与性别有关．

(2)①现从所抽取的100位女性市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

3．[2020·山东德州质量检测]某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响．对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α、β、λ、t均为常数，e为自然对数的底数．并得到一些统计量的值．令ui＝x，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：

(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？

(2)①根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；

②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？

附：①相关系数r＝，

回归直线＝＋x中公式分别为：＝，＝－；

②参考数据：308＝4×77，≈9.486 8，e4.499 8≈90.

4．[2020·山东枣庄质量检测]2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p(0<p<1)，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和1－p.

(1)若投资项目一，记X1为盈利的天坑院的个数，求E(X1)(用p表示)；

(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求E(X2)(用p表示)；

(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．

5．[2020·山东淄博模拟]近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：

(1)求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？

(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．

参考公式：

r＝，

k2＝，

其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：

参考数据：≈25.2

6．[2020·山东临沂模拟]在某大型公司的赞助下，某大学就业部从该大学2018届已就业的A，B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3 000元到9 000元之间，具体统计数据如下表：

将月薪不低于7 000元的毕业生视为“高薪收入群体”，月薪低于7 000元的毕业生视为“非高薪收入群体”，并将频率视为概率，已知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3 500元．

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关．

(2)经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X(单位：百元)近似地服从正态分布N(μ，190)，其中μ近似为样本平均数(每组数据取区间的中点值作代表)．若X落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)外的左侧，则可认为该本科毕业生属于“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导．

①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；

②该大型公司为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费；月薪不低于μ的获赠一次随机话费．每次赠送的话费Z及对应的概率如下：

求李阳获得的话费总金额的数学期望．

附：

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，≈14.