高中北师大版 (2019)2.2 分层随机抽样精品教学设计

这是一份高中北师大版 (2019)2.2 分层随机抽样精品教学设计，共8页。

2.2 分层随机抽样














分层随机抽样的概念


思考：1.某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小．在抽取样本时可以用简单随机抽样吗？为什么？


提示：在此总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质、近视情况等方面存在着明显的差异．若采用简单随机抽样，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性．


2．简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？


提示：区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取样本．


联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；


(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．





1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )


A.抽签法 B．简单随机抽样


C.分层随机抽样 D．随机数法


C [根据年级不同产生差异及按人数比例抽取，易知应为分层随机抽样法．]


2．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )


A.30 B．25 C．20 D．15


C [样本中松树苗为4 000× eq \f(150,30 000)＝4 000× eq \f(1,200)＝20(棵).]


3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________．


13 [依题意得 eq \f(3,60)＝ eq \f(n,120＋80＋60)，故n＝13.]








对分层随机抽样概念的理解


【例1】 (1)下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )


A.从10名同学中抽取3人参加座谈会


B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本


C.从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间


D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量


(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )


A.每层等可能抽样


B.每层可以不等可能抽样


C.所有层按同一抽样比等可能抽样


D.所有层抽取的个体数量相同


(1)B (2)C [(1)A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C中，D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．


(2)保证每个个体等可能的被抽取是分层随机抽样的基本特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]





1．使用分层随机抽样的前提


分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．


2．使用分层随机抽样应遵循的原则


(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；


(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )


A.从10名同学中抽取3人参加座谈会


B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本


C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间


D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量


B [A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]





分层随机抽样的应用


【例2】 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．


[解] 抽样过程如下：


第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为 eq \f(20,160)＝ eq \f(1,8).


第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16× eq \f(1,8)＝2(人)；


从教师中抽取112× eq \f(1,8)＝14(人)；


从后勤人员中抽取32× eq \f(1,8)＝4(人).


第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．


第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．





分层随机抽样的步骤








eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．


[解] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法．


具体过程如下：


第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．


第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．


第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．


第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．





分层随机抽样中的计算问题


[探究问题]


1．在分层随机抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？


提示：每层抽取的个体的个数为ni＝Ni× eq \f(n,N)，其中Ni为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数， eq \f(n,N)为抽样比．


2．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？


提示：设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1，2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则 eq \f(ni,Ni)＝ eq \f(n,N)，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．


【例3】 (1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )


A.101 B．808


C.1 212D．2 012


(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．


(1)B (2)20 [(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，


所以四个社区抽取驾驶员的比例为 eq \f(12,96)＝ eq \f(1,8)，


所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷ eq \f(1,8)＝808(人).


(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，


又总体中每个个体被抽到的概率相等，


∴分层随机抽样应从C中抽取100× eq \f(2,10)＝20(个)个体．]





1．在本例(1)中，把条件“其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43”换为“甲社区的驾驶员人数占四个社区驾驶员总人数的 eq \f(1,6)，若从甲社区抽取的驾驶员人数为16”，则抽取的样本容量是多少？


[解] 设抽取的样本容量为n，由题意可知 eq \f(16,n)＝ eq \f(1,6)，解得n＝96，即所抽取的样本容量为96.


2．在本例(2)中，把条件“其个体数之比为5∶3∶2”换为“已知A层的个体数为200，且从中抽取的样本数为10”，其余不变，则总体容量是多少？


[解] 设总体容量为N，由题意可知， eq \f(100,N)＝ eq \f(10,200)，解得N＝2 000.





进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系


(1) eq \f(样本容量n,总体的个数N)＝ eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；


(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．











1．对于分层随机抽样中的比值问题，常利用以下关系式：


(1) eq \f(样本容量n,总体容量N)＝ eq \f(各层抽取的样本数,该层的容量)；


(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．


2．选择抽样方法的规律


(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．


(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．


(3)当总体是由差异明显的几部分构成时，可采用分层随机抽样法．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小．( )


(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的．( )


(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样


( )


[提示] (1)错误．在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，还要依据总体的构成情况．


(2)错误. 根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．


(3)错误．适合用简单随机抽样．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )


A.简单随机抽样 B．抽签法


C.随机数表法 D．分层随机抽样


D [从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．]


3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．


60 [根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为 eq \f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.]


4．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．


[解] 第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以抽样比为 eq \f(20,200)＝ eq \f(1,10)，


第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：100× eq \f(1,10)＝10，二级品：60× eq \f(1,10)＝6，三级品：40× eq \f(1,10)＝4.


第三步：采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本．


第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解分层随机抽样的基本思想和适用情形．(重点)


2．掌握分层随机抽样的实施步骤．(重点)


3．了解简单随机抽样和分层随机抽样方法的区别和联系．(易混点)
1．通过对分层随机抽样概念的学习，培养数学抽象素养．


2．借助分层随机抽样过程的实施，培养数据分析素养．
定义
将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样
适用


条件
总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道某一类个体在总体中所占的百分比
优点
能很好地反映总体的规律，也会提高对总体推断的准确性