苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数单元测试课后复习题

第六章 幂函数、指数函数和对数函数B卷•能力提升练

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、   选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是定义在上的减函数，设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用中间值法，判定对数与指数的大小，根据函数单调性，可得答案.

【详解】由，，，，则，

已知是定义在上的减函数，即.

故选：B.

2．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数、对数函数单调性可判断AB，利用复合函数单调性可判断C，取和可判断D

【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；

对于B，由对数函数性质在上单调递减，故B错误；

对于C，设，∵在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；

对于D，函数当和时函数值相等，故在区间上递增不成立，故D错误.

故选：C.

3．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】由奇偶性定义可知为奇函数，根据单调性的性质可知为减函数，化简已知不等式为，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.

【详解】定义域为，，为上奇函数；

为上的减函数，为上的增函数，为上的减函数；

由得：，

，解得：.

故选：A.

4．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时，， 时，，再分和两种情况讨论求解即可.

【详解】解：函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，

因为在上均为单调递增

所以，当时，为增函数，

所以，当时，为增函数，当时，为减函数，

因为，

所以，当时，，当时，，

所以，当时，，当时，

所以，当时，不等式显然成立，

当时，不等式的解集为，

综上，的解集为

故选：C

5．已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为（    ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的对称性化简可得函数时周期函数，求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解.

【详解】解：因为函数是上的奇函数，

所以，

又因为的图象关于对称，

所以，

则，

所以，

所以函数是以4为周期的周期函数，

所以.

故选：B.

6．已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先根据已知奇函数的性质可求时函数的解析式，然后结合指数函数的单调性即可求解．

【详解】因为函数为R上的奇函数，

所以，

又当时，，

当时，，则，

所以时，，

则由可得，或或，

解得或或，

综上可得，不等式的解集为．

故选：C．

7．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出.

【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，

又为偶函数，所以有：，

所以，有，即

所以，故以为周期，

故．

因为当时，，

所以.

故选：B

8．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，

所以在定义域上单调递减，

因为在区间上恒成立，所以恒成立，

所以，解得，即；

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知是自然对数的底数，函数，实数，满足不等式，则下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得，根据指数函数的单调性可判断A，作差法可判断B，由对数函数的单调性可判断C，取特殊值可判断D.

【详解】的定义域为，，所以是奇函数.

因为，在上都单调递减，所以在上是减函数.

又，则，即，所以，即.

因为在上是增函数，所以，故A正确；

对于选项B，因为，所以，所以，故B正确；

因为在上是增函数，所以，即，故C正确；

对于选项D，取，，满足，但不成立，故D错误.

故选：ABC.

10．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．且 B．的最小值是

C．的最小值是4 D．的最小值是

【答案】ACD

【分析】对于A，利用的值域及单调性即可判断得且，故A正确；

对于B，利用基本不等式可得，再进行化简即可得到，故B错误；

对于C，利用基本不等式中“1”的妙用可得，故C正确；

对于D，由结合基本不等式可判断得D正确.

【详解】对于A，因为，，所以，即，

由于在上单调递增，所以，同理可得，故A正确；

对于B，因为，，所以，即，即，即，

由于在上单调递增，所以，即，

当且仅当且，即时，等号成立，

故的最大值是，故B错误；

对于C，因为，，

当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；

对于D，，

当且仅当且，即时，等号成立，故D正确.

故选：ACD.

11．已知实数满足，下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据指数幂的运算依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：，故选项A正确；

，故选项B错误；

，故选项C正确；

,,故选项D错误．

故选：AC．

12．关于函数，下列说法中正确的有（    ）

A．的定义域为

B．为奇函数

C．在定义域上是减函数

D．对任意，，都有

【答案】BCD

【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断

【详解】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，

对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确，

对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，

对于D，任意，，，

，，故D正确，

故选：BCD

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由奇偶性得的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解，

【详解】由题意可得 则

当时，单调递增，因为是偶函数，

所以当时单调递减，而

故等价于，得，

解得或，

故答案为：

14．已知定义在上的偶函数满足，当时，，则______．

【答案】4

【分析】根据和为偶函数得到函数周期，然后利用周期性结合解析式求值即可.

【详解】因为，且为偶函数，所以，所以4是的一个周期，.

故答案为：4.

15．已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．

【答案】

【分析】先利用点求出的值，然后利用指数函数的性质求出答案即可

【详解】因为的图象经过点

所以，解得，则，

因为，所以，

所以，即函数的值域是，

故答案为：

16．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.

【答案】

【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：令，则，

当时，是增函数，由在区间上为减函数，

则在上为减函数，故，即，解得；

当时，是减函数，由在区间上为减函数，

则在上为增函数，故，即，解得，

综上，的取值范围是..

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、已知函数.

(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；

(2)当时，解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由题意可得恒成立，故求解即可；

（2）由，得，然后分，，求解即可

（1）

由题设，令，

由函数的定义域为，

∴，解得.

∴的取值范围为.

（2）

由题意，，

当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为.

综上可知：时，解集为；

时，解集为；

时，解集为.

18、已知函数，．

(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；

(2)若，且的最小值为，求实数k的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）问题转化为对于任意的，恒成立，然后利用基本不等式求出的最大值即可得答案，

（2）化简变形函数得，令，则，然后分，和求其最小值，从而可求出实数k的值．

（1）

由，得恒成立，

所以对于任意的，恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以，

即实数k的取值范围为

（2）

，

令，当且仅当，即时取等号，

则，

当时，为减函数，则无最小值，舍去，

当时，最小值不是，舍去，

当时，为增函数，则，最小值为，解得，

综上，

19． 已知函数是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称.

(1)求证：是周期为4的周期函数；

(2)若，求时，函数的解析式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数的图像关于直线对称，及函数的奇偶性，结合函数周期性的定义，即可证明.

（2）由（1）中函数是周期为的函数，结合函数的奇偶性，即可求得解析式.

（1）

证明：由函数的图像关于直线对称，

有，

即有，

又函数是定义在上的奇函数，有，

故，

从而，

即是周期为4的周期函数.

（2）

当时，，，

由函数是定义在上的奇函数，有，故时，.

由，得，，

由（1）得，从而，时，函数的解析式为.

20．已知函数．

(1)若，求的取值范围；

(2)当时， 求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；

（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.

（1）

设，，，

所以，即，

解得，

所以，解得，

即；

（2）

由（1）得，当，，

所以函数可转化为，，

当时，取最小值为，

当或时，取最大值为，

即当时，取最小值为，

当或时，取最大值为，

即函数的值域为.

21．关于x的不等式：.

(1)设的最小值为a，求此时不等式的解集；

(2)求关于x的不等式的解集：.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据二次函数最小值求出最小值为8，代入解出一元二次不等式即可.

（2）对含参一元二次不等式进行分类讨论即可.

（1）

因为，

所以的最小值为8．

原不等式为，解集为.

（2）

，

①当时，不等式为，解集为，

时，不等式分解因式可得，

②当时，故，此时解集为．

③当时，，故此时解集为，

④当时，可化为，又，

解集为．

⑤当时，可化为，

又，解集为，

综上所述：时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为．

22、已知函数且）为定义在R上的奇函数

(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先根据奇函数满足可得，再设，证明即可；

（2）化简可得恒成立，再讨论为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可；

（3）将题意转化为方程有两个不相等的正根，

（1）

证明：由函数为奇函数，有，解得，

当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意．

设，有

，

由，有，有，故函数在上单调递增；

（2）

由

．

（1）当时，不等式为恒成立，符合题意；

（2）当时，有，解得，

由上知实数的取值范围为；

（3）

由，方程可化为，

若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根，

故有，即解得．

故实数的取值范围为．