初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理完美版课件ppt

这是一份初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理完美版课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了想一想，素养目标，三角形的外角的概念，验证结论，知识要点，做一做，还可以有如下证法，还有其他证明方法吗，△ADE，△ADC等内容，欢迎下载使用。

在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
1.了解并掌握三角形的外角的定义．
2. 能利用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明.
问题 发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考 像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
定义 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角.
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.

三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
每一个三角形都有6个外角．
如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
三角形内角和定理的推论（一）
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）.
∠2= ∠A ，（两直线平行， 内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
应用格式：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证:AD∥BC.
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),
∵AD平分∠EAC(已知).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
你还有其他证明方法吗？
证明:推理可得:∠DAC=∠C (已证),
∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).
∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
该方法是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE.
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF.
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
例 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
通过作辅助线求角的度数
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°=120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.
证明：延长BO交AC于点D,因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形内角和定理的推论（二）
如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B=∠C. 求证:∠BPC＞∠A.
证明:如图，延长BP，交AC于点D.∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　 )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
（2019•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．85°
1.判断下列命题的对错.（1）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）（3）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）（4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　）A．40°B．45°C．50°D．55°
3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）A．45°B．60°C．75°D．85°
4.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　 　）A．24°B．59°C．60°D．69°
(1)如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：∵∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. ∴∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º.
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和等于360 °