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2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）不等式2x﹣1≤5的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的一组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不能确定
6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
7．（3分）下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．邻角互补 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线相等
8．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．6a2+3a＝a（6a+3）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
10．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，AB＝BC，则BC＝（ ）
A．8cm B．12cm C．14cm D．16cm
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）分解因式：a3﹣ab2＝ ．
13．（4分）不等式组的解集为： ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝10，则DE＝ ．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝42°，过点D作BC的垂线DF，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
17．（4分）如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 ．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）解分式方程：＝
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC上的点，且AM＝CN．求证：四边形MBND是平行四边形．
20．（6分）如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）（1）化简：（+）÷；
（2）若（1）中x的值是不等式“5（x﹣1）≤3x+1”的最大整数解，请你把它找出来并代入（1）中求值．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）已知CD＝4，求AC的长．
（2）求证：AB＝AC+CD．
23．（8分）如图甲，在Rt△ACB中，四边形DECF是正方形．
（1）将△AED绕点 按逆时针方向旋转 °，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是 ．
（2）若AD＝3，BD＝4，求△ADE与△BDF的面积之和．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）若设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为 元．
（2）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？
（3）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
25．（10分）如图，在三角形△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
【解答】解：如图所示：“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：．
故选：C．
2．（3分）不等式2x﹣1≤5的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】按照移项，合并，系数化为1的方法计算即可．
【解答】解：移项得：2x≤1+5，
合并得：2x≤6，
解得：x≤3，
在数轴上表示为：，
故选：A．
3．（3分）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、原式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、原式的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项符合题意；
C、原式的分子、分母中含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、原式的分子、分母中含有公因式（x+y），不是最简分式，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；
B、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；
C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；
D、左图通过平移可得到右图，所以D选项正确．
故选：D．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不能确定
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零、分母不为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣2＝0且x+1≠0，
解得：x＝2．
故选：C．
6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
【分析】分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、AB＝DC，AD∥BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
7．（3分）下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．邻角互补 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线相等
【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形邻角互补，对角相等，对边相等，而对角线相等不相等．
【解答】解：根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．
故选：D．
8．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．6a2+3a＝a（6a+3）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（a+3）（a﹣3），不符合题意；
B、原式＝3a（2a+1），不符合题意；
C、原式＝（a+3）2，符合题意；
D、原式＝（a﹣1）2，不符合题意．
故选：C．
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，求出∠AEC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝6cm＝3cm，
故选：D．
10．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，AB＝BC，则BC＝（ ）
A．8cm B．12cm C．14cm D．16cm
【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD，再由周长为40cm可得邻边之和为20cm，然后根据AB和BC的关系计算出BC即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵▱ABCD的周长为40cm，
∴AB+BC＝20cm，
∵AB＝BC，
∴BC＝20×＝12cm，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ 1 ．
【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝1．
故答案为：1．
12．（4分）分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
13．（4分）不等式组的解集为： ﹣4＜x≤3 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣4，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是﹣4＜x≤3，
故答案为：﹣4＜x≤3．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为 （3，2） ．
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），
∵﹣1+3＝2，
∴0+3＝3
∴A′（3，2），
故答案为：（3，2）
15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝10，则DE＝ 5 ．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出DE的长．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵BC＝10，
∴DE＝5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝42°，过点D作BC的垂线DF，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 48° ．
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠A＝42°，根据直角三角形的两个锐角互余得到∠AED＝48°，再利用对顶角相等即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝42°．
∵DF⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣42°＝48°，
∴∠BEF＝∠AED＝48°．
故答案是：48°．
17．（4分）如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 3 ．
【分析】根据等边三角形的性质可得CD＝CB，再根据等边对等角的性质求出∠BDC＝∠DBC＝30°，然后求出∠BDE＝90°，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝3，BE＝6，
∴BD＝，
故答案为：．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）解分式方程：＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2），得：x＝3（x﹣2），
解得：x＝3，
检验：x＝3时，x（x﹣2）＝3×1＝3≠0，
则分式方程的解为x＝3．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC上的点，且AM＝CN．求证：四边形MBND是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由AM＝CN，易证DM＝BN，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AM＝CN，
∴AD﹣AM＝BC﹣CN，
即DM＝BN，
∴四边形MBND是平行四边形．
20．（6分）如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
【分析】根据垂直平分线的性质，连接AB作出AB的垂直平分线与河岸边交点即是码头应建位置．
【解答】解：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处．
如图：点P就是码头应建的位置．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）（1）化简：（+）÷；
（2）若（1）中x的值是不等式“5（x﹣1）≤3x+1”的最大整数解，请你把它找出来并代入（1）中求值．
【分析】（1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子；
（2）先求出不等式的解集，然后即可得它的最大整数解，然后代入（1）中的代数式，即可解答本题．
【解答】解：（1）（+）÷
＝
＝；
（2）由5（x﹣1）≤3x+1，得x≤3，
∵（1）中x的值是不等式“5（x﹣1）≤3x+1”的最大整数解，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝＝．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）已知CD＝4，求AC的长．
（2）求证：AB＝AC+CD．
【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE＝CD，进而解答即可；
（2）根据直角三角形的全等判定和性质得出AC＝AE，进而解答即可．
【解答】解：（1）∵AD是∠ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4 cm，
∵AC＝BC
∴∠B＝∠BAC
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°÷2＝45°
∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°．
∴BE＝DE，
在等腰直角三角形BDE中，＝4，
∴AC＝BC＝CD+BD＝4+4，
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED （ HL ），
∴AC＝AE，
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
23．（8分）如图甲，在Rt△ACB中，四边形DECF是正方形．
（1）将△AED绕点 D 按逆时针方向旋转 90 °，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是 90° ．
（2）若AD＝3，BD＝4，求△ADE与△BDF的面积之和．
【分析】（1）利用旋转的定义求解；
（2）根据旋转的性质得到∠A1DF＝90°，再利用正方形的性质得到∠EDF＝90°，DE＝DF，则∠ADE＝∠A1DF，所以∠A1DB＝90°，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）将△AED绕点D按逆时针方向旋转90°，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是90°；
故答案为D，90，90°；
（2）由图及（1）知S△ADE+S△BDF＝S△A1DB，
根据图形的旋转性质可知∠A1DF＝90°，
∵四边形DECF是正方形．
∴∠EDF＝90°，DE＝DF，
∴∠ADE＝∠A1DF，
又∵∠ADE+∠FDB＝90°
∴∠A1DF+∠FDB＝90°，即∠A1DB＝90°，
∴在Rt△A1DB中，A1D＝AD＝3，BD＝4，
S△ADB＝A1D×BD＝6
∴△ADE与△BDF面积之和为6．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）若设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为 （x+10） 元．
（2）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？
（3）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）由甲种树苗的单价结合乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，可用含x的代数式表示出乙种树苗的单价；
（2）根据数量＝总价÷单价结合用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（3）设他们可购买y棵乙种树苗，则购买（50﹣y）棵甲种树苗，根据总价＝单价×数量结合再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，
∴乙种树苗的单价为（x+10）元．
故答案为：（x+10）．
（2）依题意，得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40．
答：甲种树苗的单价是30元，乙种树苗的单价是40元．
（3）设他们可购买y棵乙种树苗，则购买（50﹣y）棵甲种树苗，
依题意，得：30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得：y≤11，
又∵y为正整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
25．（10分）如图，在三角形△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ 12 cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，得出MD＝AD﹣AM＝12﹣4t，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，得出MD＝AM﹣AD＝4t﹣12，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝＝12（cm），
故答案为：12；
（2）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∴PB＝PQ；
（3）解：分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
由题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，
∴MD＝AD﹣AM＝12﹣4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t＝12﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：（s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，
∴MD＝AM﹣AD＝4t﹣12，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t＝4t﹣12时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝4（s）；
综上所述，当t＝s或t＝4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）不等式2x﹣1≤5的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的一组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不能确定
6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
7．（3分）下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．邻角互补 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线相等
8．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．6a2+3a＝a（6a+3）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
10．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，AB＝BC，则BC＝（ ）
A．8cm B．12cm C．14cm D．16cm
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）分解因式：a3﹣ab2＝ ．
13．（4分）不等式组的解集为： ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝10，则DE＝ ．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝42°，过点D作BC的垂线DF，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
17．（4分）如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 ．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）解分式方程：＝
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC上的点，且AM＝CN．求证：四边形MBND是平行四边形．
20．（6分）如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）（1）化简：（+）÷；
（2）若（1）中x的值是不等式“5（x﹣1）≤3x+1”的最大整数解，请你把它找出来并代入（1）中求值．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）已知CD＝4，求AC的长．
（2）求证：AB＝AC+CD．
23．（8分）如图甲，在Rt△ACB中，四边形DECF是正方形．
（1）将△AED绕点 按逆时针方向旋转 °，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是 ．
（2）若AD＝3，BD＝4，求△ADE与△BDF的面积之和．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）若设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为 元．
（2）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？
（3）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
25．（10分）如图，在三角形△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
【解答】解：如图所示：“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：．
故选：C．
2．（3分）不等式2x﹣1≤5的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】按照移项，合并，系数化为1的方法计算即可．
【解答】解：移项得：2x≤1+5，
合并得：2x≤6，
解得：x≤3，
在数轴上表示为：，
故选：A．
3．（3分）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、原式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、原式的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项符合题意；
C、原式的分子、分母中含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、原式的分子、分母中含有公因式（x+y），不是最简分式，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；
B、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；
C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；
D、左图通过平移可得到右图，所以D选项正确．
故选：D．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不能确定
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零、分母不为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣2＝0且x+1≠0，
解得：x＝2．
故选：C．
6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
【分析】分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、AB＝DC，AD∥BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
7．（3分）下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．邻角互补 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线相等
【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形邻角互补，对角相等，对边相等，而对角线相等不相等．
【解答】解：根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．
故选：D．
8．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．6a2+3a＝a（6a+3）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（a+3）（a﹣3），不符合题意；
B、原式＝3a（2a+1），不符合题意；
C、原式＝（a+3）2，符合题意；
D、原式＝（a﹣1）2，不符合题意．
故选：C．
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，求出∠AEC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝6cm＝3cm，
故选：D．
10．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，AB＝BC，则BC＝（ ）
A．8cm B．12cm C．14cm D．16cm
【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD，再由周长为40cm可得邻边之和为20cm，然后根据AB和BC的关系计算出BC即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵▱ABCD的周长为40cm，
∴AB+BC＝20cm，
∵AB＝BC，
∴BC＝20×＝12cm，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ 1 ．
【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝1．
故答案为：1．
12．（4分）分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
13．（4分）不等式组的解集为： ﹣4＜x≤3 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣4，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是﹣4＜x≤3，
故答案为：﹣4＜x≤3．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为 （3，2） ．
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），
∵﹣1+3＝2，
∴0+3＝3
∴A′（3，2），
故答案为：（3，2）
15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝10，则DE＝ 5 ．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出DE的长．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵BC＝10，
∴DE＝5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝42°，过点D作BC的垂线DF，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 48° ．
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠A＝42°，根据直角三角形的两个锐角互余得到∠AED＝48°，再利用对顶角相等即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝42°．
∵DF⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣42°＝48°，
∴∠BEF＝∠AED＝48°．
故答案是：48°．
17．（4分）如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 3 ．
【分析】根据等边三角形的性质可得CD＝CB，再根据等边对等角的性质求出∠BDC＝∠DBC＝30°，然后求出∠BDE＝90°，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝3，BE＝6，
∴BD＝，
故答案为：．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）解分式方程：＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2），得：x＝3（x﹣2），
解得：x＝3，
检验：x＝3时，x（x﹣2）＝3×1＝3≠0，
则分式方程的解为x＝3．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC上的点，且AM＝CN．求证：四边形MBND是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由AM＝CN，易证DM＝BN，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AM＝CN，
∴AD﹣AM＝BC﹣CN，
即DM＝BN，
∴四边形MBND是平行四边形．
20．（6分）如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
【分析】根据垂直平分线的性质，连接AB作出AB的垂直平分线与河岸边交点即是码头应建位置．
【解答】解：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处．
如图：点P就是码头应建的位置．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）（1）化简：（+）÷；
（2）若（1）中x的值是不等式“5（x﹣1）≤3x+1”的最大整数解，请你把它找出来并代入（1）中求值．
【分析】（1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子；
（2）先求出不等式的解集，然后即可得它的最大整数解，然后代入（1）中的代数式，即可解答本题．
【解答】解：（1）（+）÷
＝
＝；
（2）由5（x﹣1）≤3x+1，得x≤3，
∵（1）中x的值是不等式“5（x﹣1）≤3x+1”的最大整数解，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝＝．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）已知CD＝4，求AC的长．
（2）求证：AB＝AC+CD．
【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE＝CD，进而解答即可；
（2）根据直角三角形的全等判定和性质得出AC＝AE，进而解答即可．
【解答】解：（1）∵AD是∠ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4 cm，
∵AC＝BC
∴∠B＝∠BAC
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°÷2＝45°
∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°．
∴BE＝DE，
在等腰直角三角形BDE中，＝4，
∴AC＝BC＝CD+BD＝4+4，
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED （ HL ），
∴AC＝AE，
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
23．（8分）如图甲，在Rt△ACB中，四边形DECF是正方形．
（1）将△AED绕点 D 按逆时针方向旋转 90 °，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是 90° ．
（2）若AD＝3，BD＝4，求△ADE与△BDF的面积之和．
【分析】（1）利用旋转的定义求解；
（2）根据旋转的性质得到∠A1DF＝90°，再利用正方形的性质得到∠EDF＝90°，DE＝DF，则∠ADE＝∠A1DF，所以∠A1DB＝90°，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）将△AED绕点D按逆时针方向旋转90°，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是90°；
故答案为D，90，90°；
（2）由图及（1）知S△ADE+S△BDF＝S△A1DB，
根据图形的旋转性质可知∠A1DF＝90°，
∵四边形DECF是正方形．
∴∠EDF＝90°，DE＝DF，
∴∠ADE＝∠A1DF，
又∵∠ADE+∠FDB＝90°
∴∠A1DF+∠FDB＝90°，即∠A1DB＝90°，
∴在Rt△A1DB中，A1D＝AD＝3，BD＝4，
S△ADB＝A1D×BD＝6
∴△ADE与△BDF面积之和为6．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）若设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为 （x+10） 元．
（2）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？
（3）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）由甲种树苗的单价结合乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，可用含x的代数式表示出乙种树苗的单价；
（2）根据数量＝总价÷单价结合用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（3）设他们可购买y棵乙种树苗，则购买（50﹣y）棵甲种树苗，根据总价＝单价×数量结合再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价比甲种树苗贵10元，
∴乙种树苗的单价为（x+10）元．
故答案为：（x+10）．
（2）依题意，得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40．
答：甲种树苗的单价是30元，乙种树苗的单价是40元．
（3）设他们可购买y棵乙种树苗，则购买（50﹣y）棵甲种树苗，
依题意，得：30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得：y≤11，
又∵y为正整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
25．（10分）如图，在三角形△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ 12 cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，得出MD＝AD﹣AM＝12﹣4t，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，得出MD＝AM﹣AD＝4t﹣12，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝＝12（cm），
故答案为：12；
（2）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∴PB＝PQ；
（3）解：分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
由题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，
∴MD＝AD﹣AM＝12﹣4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t＝12﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：（s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，
∴MD＝AM﹣AD＝4t﹣12，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t＝4t﹣12时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝4（s）；
综上所述，当t＝s或t＝4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．
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